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EPW: A program for calculating the electron-phonon coupling using maximally localized Wannier functions

Jesse Noffsinger, Feliciano Giustino, Brad D. Malone, Cheol-Hwan Park, Steven G. Louie, Marvin L. Cohen

arXiv:1005.4418v1cond-mat.othercond-mat.mtrl-sci

TL;DR

정확한 first-principles electron-phonon 계산에는 많은 산란 과정에 대한 고비용 Brillouin-zone 샘플링이 필요하다. EPW는 density-functional perturbation theory와 maximally localized Wannier functions, generalized Fourier interpolation을 결합해 조밀한 격자의 matrix element를 생성하며, 이를 통해 실험과 잘 일치하는 정확하고 효율적인 계산을 가능하게 한다.

  • 문제

    정확한 first-principles electron-phonon coupling 계산에는 많은 Brillouin-zone matrix element가 필요하므로, brute-force 계산은 사실상 수행하기 어려울 정도로 시간이 오래 걸린다.

  • 방법

    EPW는 density-functional perturbation theory와 maximally localized Wannier functions, generalized Fourier interpolation을 결합해 세밀한 Brillouin-zone 격자에서 electron-phonon coupling을 계산한다.

  • 결과

    EPW는 전체 및 mode-resolved electron-phonon coupling을 정확하고 효율적으로 계산할 수 있게 하며, 계산된 λ = 1.41은 실험과 매우 잘 일치한다.

  • 핵심 시사점 및 한계

    EPW는 조밀한 격자에서의 electron-phonon 계산을 실용적으로 만들어 large and complex systems에서 electron-phonon interaction을 연구할 수 있게 한다.

Abstract

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EPW (Electron-Phonon coupling using Wannier functions) is a program written in FORTRAN90 for calculating the electron-phonon coupling in periodic systems using density-functional perturbation theory and maximally-localized Wannier functions. EPW can calculate electron-phonon interaction self-energies, electron-phonon spectral functions, and total as well as mode-resolved electron-phonon coupling strengths. The calculation of the electron-phonon coupling requires a very accurate sampling of electron-phonon scattering processes throughout the Brillouin zone, hence reliable calculations can be prohibitively time-consuming. EPW combines the Kohn-Sham electronic eigenstates and the vibrational eigenmodes provided by the Quantum-ESPRESSO package [1] with the maximally localized Wannier functions provided by the wannier90 package [2] in order to generate electron-phonon matrix elements on arbitrarily dense Brillouin zone grids using a generalized Fourier interpolation. This feature of EPW leads to fast and accurate calculations of the electron-phonon coupling, and enables the study of the electron-phonon coupling in large and complex systems.

PROGRAM SUMMARY · I. 서론 · II. 기능 및 기술 릴리스

EPW는 Quantum-ESPRESSO와 wannier90을 사용해 first-principles electron–phonon coupling을 계산하는 GPL 라이선스 Fortran 90 후처리 프로그램이다. Wannier-function 표현을 이용한 계산을 가능하게 해 조밀한 Brillouin-zone sampling에 따른 막대한 비용을 줄이며, self-energy, spectral-function, coupling 분석을 제공한다.

  • PROGRAM SUMMARY: EPW는 first-principles electron–phonon coupling을 위한 Fortran 90 프로그램으로, 1 to 64 processors에 최적화되어 있으며 GNU Public License로 배포된다.이 프로그램은 BLAS, LAPACK, MPI, FFTW 및 wannier90 관련 루틴을 사용한다.
  • I. 서론: 정확한 Brillouin-zone 적분에는 phonon wavevectors로 연결된 electronic states 사이의 matrix elements가 필요하므로 electron–phonon coupling 계산은 어렵다 [11].기존 패키지는 electronic states와 phonon properties를 제공하지만, coupling 계산에는 Brillouin zone 전체에서의 matrix elements가 필요하다.
  • I. 서론: 수천에서 수백만 개의 phonon wavevectors는 electron–phonon Brillouin-zone 적분의 brute-force 수렴을 감당하기 어려울 정도로 비싸게 만들 수 있다.각 phonon wavevector에 대한 lattice-dynamical 계산은 self-consistent total-energy minimization만큼이나 비용이 많이 든다.
  • II. 기능 및 기술 릴리스: EPW는 maximally localized Wannier functions를 사용해 electron–phonon coupling을 계산하며, Quantum-ESPRESSO [1] 및 wannier90 [2]와 함께 작동하는 후처리 도구다.Electronic states는 planewaves와 norm-conserving 또는 Vanderbilt ultrasoft pseudopotentials를 사용한 DFT [12, 13]로 계산된다.
  • II. 기능 및 기술 릴리스: EPW는 Migdal approximation과 transport electron–phonon spectral function α2FT 내에서 phonon 및 electron self-energies를 계산한다.이 출력은 electron–phonon interaction 효과와 transport 관련 spectral properties를 분석하는 데 활용된다.
  • II. 기능 및 기술 릴리스: EPW에는 Quantum-ESPRESSO의 phonon dynamical matrices, self-consistent-potential derivatives, electronic wavefunctions와 eigenvalues, pseudopotentials, 그리고 runtime-parameter input file이 필요하다.dynamical matrices와 potential derivatives에는 irreducible Brillouin-zone wedge에 속하는 phonon wavevectors만 필요하다.
  • II. 기능 및 기술 릴리스: EPW가 ψ_mk+q(r)를 ψ_mk′+G(r)에 대응시킬 수 있도록 initial electron 및 phonon grids는 서로 commensurate해야 한다.Electronic wavefunctions, dynamical matrices 및 potential derivatives는 Quantum-ESPRESSO를 사용해 uniform grids에서 생성된다.

III. 계산 방법론 · A. 물리량 (selfen

EPW는 Brillouin zone 물리량으로부터 phonon 및 electron self-energy, mode-resolved 및 total electron-phonon coupling, Eliashberg spectral function, transport spectral function을 계산한다. 방법론은 이러한 계산에 사용되는 관련 matrix element, occupation, weight, velocity 및 근사법을 정의한다.

  • A. 물리량 (selfen: EPW는 Migdal approximation [36, 37] 내에서 imaginary phonon self-energy를 계산한다.계산은 electron-phonon matrix element와 phonon 관련 물리량을 사용해 정식화된다.
  • A. 물리량 (selfen: phonon self-energy는 electronic wavefunction, eigenvalue, self-consistent-potential derivative, Fermi occupation 및 spin-normalized k-point weight를 사용한다.potential derivative는 phonon wavevector q, branch ν 및 frequency ω_qν와 연관된다.
  • A. 물리량 (selfen: phonon self-energy에 대한 일반적인 근사에서는 phonon frequency ω_qν를 무시한다.이 근사는 계산량의 식을 단순화한다.
  • A. 물리량 (selfen: EPW는 electronic state와 Dirac delta function을 사용해 각 phonon mode 및 wavevector에 대한 electron-phonon coupling strength λ_qν를 정의한다.double-delta approximation에서 λ_qν는 phonon self-energy Π′′의 imaginary part와 연관된다.
  • A. 물리량 (selfen: total electron-phonon coupling λ는 mode-resolved strength λ_qν의 Brillouin-zone average다.이 average에서는 Brillouin zone에서 1로 정규화된 phonon-wavevector weight w_q를 사용한다.
  • A. 물리량 (selfen: EPW는 λ_qν와 phonon frequency로부터 Eliashberg spectral function α2F를 얻고, λ_qν를 λ_T,qν로 대체해 transport function α2F_T를 얻는다.transport formulation에서는 electron velocity v_nk = ∇_k ε_nk도 추가로 사용한다.
  • A. 물리량 (selfen: EPW는 electron self-energy Σ_nk의 real part와 imaginary part를 계산한다.식에는 Bose occupation factor n(ω_qν)가 포함된다.

B. 조밀하지 않은 Brillouin zone 격자에서 행렬 원소 계산 (elphon

EPW는 먼저 표준 DFT 및 DFPT 방법 을 사용해 조밀하지 않은 전자 및 phonon wavevector 격자에서 electron–phonon matrix elements를 계산한다. Crystal symmetry를 이용하면 계산을 irreducible Brillouin-zone wedge로 줄일 수 있으며, 계산된 데이터는 재사용을 위해 저장할 수 있다.

  • 조밀하지 않은 Brillouin zone 격자에서 계산: EPW의 초기 단계에서는 표준 DFT 및 DFPT 방법 을 사용해 조밀하지 않은 전자 및 phonon wavevector 격자에서 first-principles electron–phonon matrix elements를 계산한다.이 matrix elements는 이후 조밀한 Brillouin-zone 격자에서 수행되는 계산의 입력으로 사용된다.
  • 조밀하지 않은 Brillouin zone 격자에서 계산: Phonon dynamical matrices와 self-consistent potential variations는 irreducible Brillouin-zone wedge에서만 계산한 뒤, crystal symmetry를 사용해 다른 영역에서 생성한다.이러한 양의 계산은 일반적으로 electron–phonon 계산에서 가장 많은 시간이 걸리는 부분이므로 전체 작업량이 줄어든다.
  • 조밀하지 않은 Brillouin zone 격자에서 계산: EPW는 조밀하지 않은 격자의 electron–phonon matrix elements와 dynamical matrices를 prefix.epb 파일에 기록할 수 있으므로, 이후 실행에서 재계산 없이 이를 재사용할 수 있다.저장된 데이터는 input file 옵션을 통해 디스크에서 읽어온다.

C. wannier90 (pw2wan90epw) 인터페이스

EPW는 wannier90을 workflow에 직접 통합해 실행을 하나의 executable로 줄이면서도 wannier90의 MLWF 생성 및 분석 기능에 계속 접근할 수 있게 한다 [2]. 그 결과로 얻은 gauge matrix는 Bloch 함수를 maximally localized Wannier functions로 변환해 EPW 계산에 사용한다.

  • wannier90 (pw2wan90epw) 인터페이스: wannier90은 unitary transform을 통해 Berry-phase position operator의 spread를 최소화하여 MLWFs를 생성한다 [16].standalone workflow는 first-principles data, starting-guess 및 crystal-structure file, runtime input file을 사용한다 [2].
  • wannier90 (pw2wan90epw) 인터페이스: EPW는 run library routine을 통해 wannier90을 통합하므로, 사용자는 wannier90과 직접 통신하는 하나의 executable을 실행한다.이를 통해 wannier90과 Quantum-ESPRESSO 사이에서 여러 프로그램과 intermediate file을 수동으로 조정할 필요가 없어진다.
  • wannier90 (pw2wan90epw) 인터페이스: 이 인터페이스는 추가적인 wannier90 input parameter를 지원하여 bandstructure 또는 MLWFs plotting과 같은 기능에 계속 접근할 수 있게 한다 [2].
  • wannier90 (pw2wan90epw) 인터페이스: wannier90이 생성한 gauge matrix U^k_mn는 Bloch 고유상태를 MLWFs로 매핑하며, 이후 EPW 실행에서 재사용할 수 있도록 disk에 기록된다.그 차원은 coarse Brillouin-zone grid에서 Bloch band 수, MLWF 수, electronic wavevector 수에 해당한다.

D. 조밀하지 않은 Brillouin zone 격자의 Bloch 표현에서 MLWF로의 변환

EPW는 조밀하지 않은 격자에서의 전자, phonon, electron–phonon 물리량을 interpolation 및 후속 계산을 위해 국소화된 Wannier 표현으로 변환한다. 이러한 변환에는 electronic Hamiltonian, dynamical matrix, electron–phonon matrix elements가 포함되며, 유도 과정은 Ref. [15]에 제시되어 있다.

  • 변환 개요: EPW는 electronic Hamiltonian, phonon dynamical matrix, electron–phonon matrix elements를 조밀하지 않은 격자의 Bloch 표현에서 Wannier 표현으로 변환한다 [15].변환은 조밀하지 않은 electron 및 phonon Brillouin-zone 격자에서 matrix elements를 계산한 후 적용된다.
  • Electronic Hamiltonian: electronic Hamiltonian은 MLWF 표현으로 변환되며, 이 표현의 matrix elements는 서로 다른 unit cell에 중심을 둔 MLWF의 overlap을 반영한다.변환에 사용되는 weight는 1로 정규화된다.
  • Phonon dynamical matrix: phonon dynamical matrix는 직교정규 dynamical-matrix eigenvectors와 질량 스케일링된 force constants를 사용해 국소화된 실공간 표현으로 변환된다.phonon eigenvectors는 dynamical-matrix 변환을 통해 들어간다.
  • Electron–phonon matrix elements: electron–phonon matrix elements는 원자 질량으로 스케일링된 phonon eigenvectors를 사용해 MLWF 표현으로 변환된다 [15].EPW는 결과로 얻은 실공간 물리량이 electron 및 phonon lattice-cell indices의 함수로서 공간적으로 감쇠하는지도 확인한다.
  • 구현: Wannier 표현 데이터는 파일에 기록하고 다시 불러올 수 있으므로, 후속 계산을 이전 계산 단계를 반복하지 않고 재시작할 수 있다.run-time option을 사용하면 모든 Wannier 데이터를 하나의 파일로 결합할 수 있다.

E. 세밀한 Brilluin zone 격자에서 MLWF 표현을 Bloch 표현으로 변환 · F. EPW가 수행한 작업 요약

EPW는 임의로 조밀한 electron 및 phonon 격자에서 Wannier로 표현된 Hamiltonian, dynamical matrix, electron–phonon matrix elements를 Bloch 물리량으로 변환한다. 이어서 앞선 계산 workflow를 도식적으로 요약한다.

  • E. 세밀한 Brilluin zone 격자에서 MLWF 표현을 Bloch 표현으로 변환: interpolation accuracy는 MLWF와 phonon perturbation의 공간적 국소화에 좌우된다.MLWF는 일반적으로 수 Å 이내에 국소화되어 있는 반면 [39, 40], phonon-perturbation의 국소화는 dielectric screening에 좌우되므로 interpolation 전에 각 system에 대해 검증해야 한다 [15].
  • E. 세밀한 Brilluin zone 격자에서 MLWF 표현을 Bloch 표현으로 변환: Hamiltonian, dynamical matrix, electron–phonon matrix elements는 각각 electron과 phonon에 대해 Nk 및 Nq unit cells를 포함하는 real-space supercell 바깥에서 절단된다.Nk와 Nq는 해당 coarse Brillouin-zone mesh의 point 수와 같다.
  • E. 세밀한 Brilluin zone 격자에서 MLWF 표현을 Bloch 표현으로 변환: 절단 후 EPW는 Eq. (11), (12), (13)을 역변환하여 이러한 물리량을 임의의 electron 및 phonon wavevector에서 Bloch 표현으로 Fourier-transform한다 [15].이를 통해 후속 계산에 필요한 fine-grid electronic eigenstates, phonon frequencies, electron–phonon matrix elements가 생성된다.
  • E. 세밀한 Brilluin zone 격자에서 MLWF 표현을 Bloch 표현으로 변환: EPW를 사용하면 사용자가 지정한 extremely fine Brillouin-zone grids에서 electron–phonon matrix elements를 계산할 수 있다.이 접근법은 time series의 Fourier interpolation과 유사하며 Fermi-surface 및 anomalous-Hall-effect 연구에도 사용되었다 [18, 20, 41].
  • E. 세밀한 Brilluin zone 격자에서 MLWF 표현을 Bloch 표현으로 변환: fine-grid Hamiltonian, dynamical matrix, electron–phonon matrix elements를 사용하여 Sec. III A에 기술된 physical quantities를 compute한다.이는 fine electron 및 phonon wavevector grid로 변환한 뒤 수행되는 최종 계산 단계다.
  • F. EPW가 수행한 작업 요약: EPW가 수행한 computational steps는 다음 section에서 도식적으로 summarized schematically된다.이 요약은 앞선 section들에서 설명한 workflow를 종합한다.

1. 전자 고유상태와 고유값은 디스크에서 읽고, · IV. 병렬화

EPW는 coarse-grid Bloch 계산, MLWF 변환, 임의로 조밀한 grid로의 Fourier interpolation을 결합해 electron–phonon 물리량을 구성한다. 병렬화는 wavevector에 의존하는 작업을 processor pool에 분산하며, hole-doped SiC에서 효율이 입증되었다.

  • 1. 전자 고유상태와 고유값은 디스크에서 읽고,: 이 workflow는 wannier90 overlap matrices A_mn과 M_mn을 계산하고, wannier90을 library로 호출하며, 그 결과인 MLWF localization matrix를 디스크에 저장한다.lattice와 reciprocal vectors를 포함한 대부분의 wannier90 입력은 Quantum-ESPRESSO와 EPW를 통해 전달된다.
  • 1. 전자 고유상태와 고유값은 디스크에서 읽고,: EPW는 coarse electron and phonon wavevector grids에서 electron–phonon matrix elements를 계산한 뒤 Bloch 표현에서 MLWF 표현으로 변환한다.Hamiltonian과 dynamical matrix에도 동일한 Bloch-to-MLWF 변환을 적용한다.
  • 1. 전자 고유상태와 고유값은 디스크에서 읽고,: EPW는 MLWF 표현의 Hamiltonian, dynamical matrix, electron–phonon matrix elements를 arbitrarily dense electron and phonon wavevector grids로 Fourier-transform한다.이를 통해 self-energies와 coupling strengths 같은 물리량에 대해 electronic eigenvalues, phonon frequencies, matrix elements를 후속 처리할 수 있다.
  • IV. 병렬화: EPW는 electronic wavevectors를 processor pools에 분산하고, 병렬 작업을 electron 또는 phonon wavevectors에 걸쳐 나눌 수 있다.pool 내부에서는 여러 processor가 하나의 pool을 공유할 때 wavefunctions의 reciprocal-space G-vectors도 분산된다.
  • IV. 병렬화: Overlap-matrix elements는 coarse-grid k-point pools에 걸쳐 독립적으로 계산되므로, 이 단계의 실행 시간은 number of pools에 반비례해 scales inversely한다.wannier90 자체는 library call을 통해 각 processor에서 serially 실행되며, MLWF determination은 coarse-grid matrix-element computation에 비해 무시할 수 있을 정도로 작다.
  • IV. 병렬화: Coarse-grid electron–phonon matrix elements는 phonon wavevector별로 순차적으로 계산하고, electron wavevectors는 processor pools에 분산한다.Fine-grid calculations는 phonon 또는 electron self-energy처럼 최종 물리량에 따라 electronic 또는 phonon wavevectors에 대해 병렬화한다.
  • IV. 병렬화: Figure 1은 MLWF generation, coarse-grid matrix elements, fine-grid interpolation, phonon self-energy, complete computation에 걸쳐 hole-doped SiC의 EPW parallelization efficiency를 평가한다.complete computation에는 initialization과 intermediate I/O가 포함된다.

A. “on the fly” 계산 · V. 예시 · A. Lead

EPW는 메모리를 절약하는 on-the-fly electron-phonon self-energy 계산을 지원하며, 실험과 잘 일치하는 정확한 bulk-Pb coupling 결과를 보여준다. 예시는 strong-coupling 금속과 대표적인 반도체를 아우른다.

  • A. “on the fly” 계산: On-the-fly mode는 matrix element가 생성되는 즉시 self-energy를 계산하고, matrix element를 디스크에 저장하는 대신 관련 양을 덮어쓴다.이 모드는 fine-grid electron-phonon matrix element 전체를 보관할 때 발생하는 저장 부담을 피한다.
  • V. 예시: EPW는 Pb, graphene, boron-doped silicon carbide를 각각 prototypical metallic, zero-gap, wide-gap system으로 사용해 기능을 보여준다.Pb는 strong-coupling superconductor이고, graphene은 Fermi level 부근에서 선형 quasiparticle dispersion을 가지며, doped silicon carbide는 저온에서 superconductor가 된다.
  • A. Lead: Pb 계산에는 Quantum-ESPRESSO, wannier90, EPW와 함께 4개의 valence electron을 포함하는 norm-conserving scalar-relativistic pseudopotential을 사용한 LDA가 적용되었다.이 연구는 계산된 electron-phonon coupling을 실험 데이터와 비교한다.
  • A. Lead: 대칭적으로 국소화된 sp3-like Wannier state 4개와 2.17 Å의 spread가 Fermi level 부근 Pb의 electronic structure를 재구성했다.MLWF representation은 electron Hamiltonian, phonon dynamical matrix, electron-phonon matrix element의 공간적 감쇠를 조사하는 데 사용되었다.
  • A. Lead: Pb에서 λ = 1.41이며, 계산된 Tc = 4–6 K는 실험값 7.2 K와 잘 일치한다.계산에는 106 k-point, 8000 q-point, 30 meV smearing, modified McMillan equation [47], 그리고 0.10에서 0.15 사이의 µ∗가 사용되었다.
  • A. Lead: Generalized Fourier interpolation은 linewidth 및 coupling 계산을 위해 Pb의 Hamiltonian, dynamical matrix, electron-phonon matrix element를 MLWF representation에서 Bloch representation으로 변환했다.EPW에서 얻은 Eliashberg spectral function을 Ref. 의 결과와 비교한다.

B. Graphene · C. Silicon carbide

이 절에서는 graphene과 4% hole-doped cubic silicon carbide에 대한 EPW 계산을 제시하고, density-functional 입력과 Wannier 표현을 결합해 electron-phonon 효과를 평가한다. SiC 계산에서 λ = 0.34와 Tc = 1 K을 얻었으며, 이는 실험값 Tc = 1.4 K과 일치한다 [52].

  • B. Graphene: Graphene은 Fermi level 부근의 Dirac-like electronic states와 band-structure renormalization에 대한 electron-phonon 기여를 규명할 필요성 때문에 연구 대상이 되었다.이러한 효과는 angle-resolved photoemission 실험을 통해 조사되었다.
  • B. Graphene: Graphene 계산에는 LDA, norm-conserving carbon pseudopotential, 60 Ry plane-wave cutoff, 그리고 periodic replica 사이의 8 Å vacuum을 사용했다.계산은 freestanding graphene sheet에 대해 수행되었다 [23].
  • B. Graphene: Graphene의 electronic structure는 bonding, pz-like, out-of-plane s-like maximally localized Wannier functions으로 표현했다.이에 대응하는 spatial spread는 각각 0.565 Å, 0.782 Å, 1.726 Å였다.
  • B. Graphene: Graphene 연구에서는 Fermi energy의 함수로 real 및 imaginary electron self-energy와 electron-phonon coupling parameter를 평가했다.Dirac point 부근의 real 및 imaginary self-energy와 doping에 따른 λ를 Fig. 5에 제시했다.
  • C. Silicon carbide: SiC 테스트에는 4% hole doping을 적용한 rigid-band model, 60 Ry plane-wave cutoff, 그리고 8×8×8 coarse electron 및 phonon mesh를 사용했다.Relaxed lattice parameter는 4.34 Å로, 실험값 4.36 Å에 가까웠다.
  • C. Silicon carbide: 4% hole-doped cubic SiC에서 λ = 0.34와 Tc = 1 K을 얻었으며, 이는 실험값 Tc = 1.4 K과 일치한다 [52].이 결과에는 250,000 k-points, 8,000 q-points, μ⋆ = 0.1을 사용했다.
  • C. Silicon carbide: SiC에서 MLWF 표현은 electron Hamiltonian, phonon dynamical matrix, electron-phonon matrix elements의 spatial decay를 포착한다.이러한 decay 특성은 Fig. 6에 제시되었다.

VI. 결론

EPW는 density functional perturbation theory와 maximally localized Wannier functions를 사용해 electron–phonon 특성을 정확하고 효율적으로 계산하는 first-principles code로 소개된다. GNU General Public License에 따라 배포되며, 추가적인 superconductivity 및 optical-response theory로의 확장이 계획되어 있다.

  • VI. 결론: EPW는 mode-resolved 및 전체 electron–phonon coupling strength, phonon linewidth, electron linewidth를 높은 정확도와 효율로 계산한다.이 code는 density functional perturbation theory와 maximally localized Wannier functions를 사용한다.
  • VI. 결론: EPW는 프로젝트 웹사이트에서 GNU General Public License에 따라 이용할 수 있다.이 부분에서는 배포 웹사이트를 http://epw.org.uk로 명시한다.
  • VI. 결론: Planned extensions에는 anisotropic Eliashberg theory, superconductors를 위한 density functional theory, phonon-assisted optical response 가 포함된다.이러한 확장은 EPW에 향후 구현할 계획으로 설명된다.

VII. 부록 · A. 전자 파동함수의 고유 게이지 지정 (setphases)

부록에서는 EPW에서 전자 파동함수에 고유 게이지를 지정하여 electron–phonon matrix elements의 machine dependence를 다룬다. 이를 통해 phonon sidebands와 phonon-assisted Auger recombination 같은 응용에서 이 matrix elements를 의미 있게 사용할 수 있다.

  • A. 전자 파동함수의 고유 게이지 지정 (setphases): 비축퇴 파동함수는 임의의 위상을 가지며 축퇴 파동함수는 unitary transformation을 통해 혼합될 수 있으므로 electron–phonon matrix elements는 machine dependent하다.
  • A. 전자 파동함수의 고유 게이지 지정 (setphases): EPW가 생성한 electron–phonon matrix elements를 EPW 외부에서 사용할 때는 unique gauge가 필요하다.
  • A. 전자 파동함수의 고유 게이지 지정 (setphases): 이러한 외부 사용에는 excitonic spectra에서 phonon sidebands를 연구하는 것이 포함된다.
  • A. 전자 파동함수의 고유 게이지 지정 (setphases): 또 다른 응용은 phonon-assisted Auger recombination이다.
  • A. 전자 파동함수의 고유 게이지 지정 (setphases): EPW는 게이지를 고정하기 전에 coarse mesh의 각 wavevector에서 축퇴 파동함수의 부분집합을 식별한다.
  • A. 전자 파동함수의 고유 게이지 지정 (setphases): 각 축퇴 부분집합을 small external perturbation 아래에서 대각화하여 인위적으로 축퇴를 해소하며, 이 perturbation은 실제로 prefix.dvscf files의 데이터로부터 얻은 nonlinear combination으로 선택된다.
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