Volatility of Power Grids under Real-Time Pricing

Mardavij Roozbehani; Munther A Dahleh; Sanjoy K Mitter

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Volatility of Power Grids under Real-Time Pricing

Mardavij Roozbehani, Munther A Dahleh, Sanjoy K Mitter

arXiv:1106.1401v12011년 6월 7일eess.SYmath.DSmath.OCq-fin.PR

TL;DR

실시간 소매 가격 책정은 소비자를 도매시장과 연결해 전력망 변동성을 증폭시킬 수 있는 피드백을 만든다. 이 논문은 이러한 동학을 모델링하고, 상대적 price-elasticity가 증가할수록 변동성이 커져 불안정성이 발생할 수 있음을 보인다.

문제
소매 소비자를 도매 가격에 직접 연결하면 information asymmetry 상황에서 운영상의 문제가 발생하므로, 그에 따른 시장 동학과 안정성을 분석할 필요가 있다.
방법
이 논문은 information asymmetry하에서 도매 공급과 소매 수요의 dynamical models를 개발하고 가격 동학을 분석한다.
결과
보고된 시뮬레이션에서 실시간 가격 책정하의 RVR = 51.12로, 가격 변동성이 극도로 크고 시스템은 사실상 불안정하다.
시사점 및 한계
변동성과 강건성은 상대적 price-elasticity로 특성화할 수 있으며, 소비자 대 생산자 elasticity ratio가 exceeds one일 때 불안정성이 발생한다.

Abstract

from arXiv · show

The paper proposes a framework for modeling and analysis of the dynamics of supply, demand, and clearing prices in power system with real-time retail pricing and information asymmetry. Real-time retail pricing is characterized by passing on the real-time wholesale electricity prices to the end consumers, and is shown to create a closed-loop feedback system between the physical layer and the market layer of the power system. In the absence of a carefully designed control law, such direct feedback between the two layers could increase volatility and lower the system's robustness to uncertainty in demand and generation. A new notion of generalized price-elasticity is introduced, and it is shown that price volatility can be characterized in terms of the system's maximal relative price elasticity, defined as the maximal ratio of the generalized price-elasticity of consumers to that of the producers. As this ratio increases, the system becomes more volatile, and eventually, unstable. As new demand response technologies and distributed storage increase the price-elasticity of demand, the architecture under examination is likely to lead to increased volatility and possibly instability. This highlights the need for assessing architecture systematically and in advance, in order to optimally strike the trade-offs between volatility, economic efficiency, and system reliability.

I. 서론 … 2) 안정성:

이 논문은 전력망 효율을 높이는 방안으로 real-time pricing을 제시하는 한편, 시장과 물리적 운영 사이의 feedback이 volatility를 키우고 stability를 위협할 수 있음을 경고한다. 또한 incremental signal measure와 Lyapunov 기반 asymptotic stability 개념을 사용해 volatility와 stability를 형식화한다.

I. 서론: Real-time pricing과 demand response는 효율을 높이고 renewable generation을 통합하는 데 기여할 수 있지만, 전력 시스템의 불확실성, 긴밀한 경제적-물리적 결합, reliability 제약은 고유한 도전 과제를 만든다.소비자는 price signal에 반응하도록 유도되는 반면, 공급은 수요와 지속적으로 일치해야 한다.
I. 서론: Pricing mechanism은 volatility, reliability, 경제적 또는 환경적 효율성이 서로 경쟁하는 trade-off를 수반하므로 stability를 고려해 설계해야 한다.이 논문은 real-time pricing을 도입하기 전에 price signal에 대한 소비자 반응을 분석해야 한다고 강조한다.
I. 서론: 이 논문의 기여는 maximal relative elasticity를 통해 volatility를 특성화하고, full nonlinear model의 global property를 사용해 소비자 행동의 불확실성을 분석하는 데 있다.이 model은 full nonlinear system을 분석한다는 점에서 dynamic power-market stability를 다룬 기존 연구와 다르다.
A. 표기법: 표기법은 양수 및 음이 아닌 수, 미분가능 함수, 벡터 성분과 norm, sequence space, Jacobian, derivative, Lebesgue measure에 관한 규약을 정립한다.이러한 규약은 논문의 수학적 정의와 이후의 시스템 분석을 뒷받침한다.
1) Volatility:: Scaled incremental mean volatility는 signal이 moving average에서 보이는 fast-timescale deviation을 측정하며, 전체 평균으로부터의 deviation보다 high-frequency behavior를 강조한다.이 논문은 incremental volatility를 sample variance 및 coefficient of variation과 대비한다.
1) Volatility:: Scaled incremental aggregate volatility는 scaled incremental mean volatility가 0이거나 작은 fast-decaying signal을 정량화함으로써 mean volatility를 보완한다.전력 시장의 price, supply, demand에는 log-scaled incremental volatility가 사용된다.
2) Stability:: 이 논문은 discrete-time system에 표준 asymptotic stability를 사용하며, 충분히 작은 초기 perturbation 아래 equilibrium의 Lyapunov stability에서 시작한다.Lyapunov stability에서는 충분히 가까운 곳에서 시작한 trajectory가 임의로 가까운 상태를 유지해야 한다.
2) Stability:: Equilibrium이 Lyapunov stable이고 모든 trajectory가 시간이 infinity로 갈 때 해당 equilibrium으로 수렴하면 globally asymptotically stable하다고 한다.이 정의는 local stability를 정의역의 모든 초기 상태로 확장한다.

C. 시장 구조 · 1) 소비자와 생산자:

시장 모델은 가격수용자인 소비자와 공급자로 구성되며, 독립적인 ISO가 네트워크 제약하에서 공급과 수요를 청산한다. 소비자의 이질성과 불확실성으로 수요는 시간에 따라 변하고, 집계를 통해 외생적 비탄력 수요와 가격반응형 수요를 분리한다.

C. 시장 구조: 시장에는 가격수용자이자 이윤 극대화를 추구하는 공급자와 소비자가 존재하며, 독립적이고 이윤중립적인 ISO가 사회적 후생을 극대화하도록 공급과 수요를 청산한다.ISO는 네트워크 제약하에서 시장 청산을 수행한다.
1) 소비자와 생산자:: 생산자 비용 함수는 엄밀히 증가하고 convex인 반면, 소비자 가치 함수는 엄밀히 증가하고 concave이다.이 함수들은 생산 비용과 소비자의 전력 소비에 따른 화폐적 가치를 정의한다.
1) 소비자와 생산자:: 소비자의 불확실한 가치 함수는 곱셈형 또는 덧셈형 섭동으로 모델링하여, 이질적이고 시간에 따라 변하는 행동을 표현한다.이러한 모델에서는 부하 유형과 구성에 따라 같은 가격이 시간대별로 서로 다른 소비를 유도할 수 있다.
1) 소비자와 생산자:: 여러 소비자 또는 생산자를 representative agent로 나타낼 수 있지만, 그 명시적 효용 함수를 도출하기는 어려울 수 있다.동일한 소비자의 경우 집계 수요는 representative-consumer 수요와 같다.
1) 소비자와 생산자:: 집계 수요는 외생적 비탄력 성분과 실시간 가격에 반응하는 탄력적 성분을 결합한다.비탄력 항은 시장에 참여하지 않는 소비자를 나타낼 수 있고, 탄력적 항은 실시간 가격의 적용을 받는 소비자를 나타낸다.
1) 소비자와 생산자:: ISO는 Kirchhoff의 법칙, 송전 한계, 발전기 용량 및 예비력 요구사항하에서 공급과 수요를 일치시킨다.추가 제약은 ISO에 특유할 수 있으며, 실시간 운전에서는 정상상태 운전점 부근에서 제약을 선형화한다.

2) 독립 계통운영자(ISO): · III. 정보 비대칭하의 공급-수요 동적 모델

ISO 모델은 제약이 없는 네트워크와 충분한 예비력을 가정하여 최적의 공급–수요 매칭과 LMP 기반 경쟁적 청산을 가능하게 한다. 이어지는 동적 framework는 예측 수요에 기반한 ex-ante 가격을 포함하여, 정보가 비대칭적인 상황에서 이산 구간별 실시간 시장을 분석한다.

2) 독립 계통운영자(ISO):: 손실이 무시 가능하고 선로가 비혼잡 상태이며 발전기 제약이 없고 예비력이 충분하다는 가정하에서는 네트워크 및 예비력 parameter를 ISO 매칭 문제에서 생략한다.예비력의 한계비용은 한계 발전비용과 같다고 가정한다.
2) 독립 계통운영자(ISO):: 용량시장 효과와 송전 또는 발전기 용량 제약은 범위에서 제외하며, 관련 동적 가격 분석은, 로 인용한다.
2) 독립 계통운영자(ISO):: ISO 최적화 문제는 이러한 가정하에서 정식화되며, balance constraint가 시장 청산의 중심이 된다.
2) 독립 계통운영자(ISO):: 최적 수요와 공급이 해당 할당 문제를 풀도록 하는 가격 λ*가 존재하며, λ*는 balance constraint의 Lagrangian multiplier와 같다.이 lemma는 에서 채택했다.
2) 독립 계통운영자(ISO):: 시장 가격을 balance constraint의 Lagrange multiplier로 정의하면, 각 주체의 집단적이고 자기 이익을 추구하는 행동이 system-wide optimum을 달성하는 경쟁 환경이 조성된다.
2) 독립 계통운영자(ISO):: 소매 소비자가 가치 함수를 입찰하지 않을 때 운영자는 예측 수요를 사용하고, 최소비용 한계 생산 수준에서 가격을 설정하며, 예비력을 통해 forecast error를 보정한다.소비자는 도매 청산 가격에 대응하여 소비량을 계속 조정할 수 있다.
III. 정보 비대칭하의 공급-수요 동적 모델: 동적 모델은 운영자가 공급 비용은 알고 있지만 수요 측 resource valuation은 알지 못하는 경우의 도매 공급과 소매 수요 간 상호작용을 다룬다.
III. 정보 비대칭하의 공급-수요 동적 모델: 실시간 시장은 이산 구간에서 청산되며, ex-ante 가격은 예측 수요에 기반하고 ex-post 가격은 구간 종료 시 실현된 소비량에 기반한다.

A. Ex-ante 가격결정하의 가격 동학 · B. Ex-post 가격결정하의 가격 동학

이 논문은 ex-ante 가격결정을 예측 기반 feedback system으로, ex-post 가격결정을 소비자 행동에 따라 동학이 달라지는 가격 예측 시스템으로 모델링한다. Persistence forecasting에서는 ex-post 동학이 ex-ante 동학과 일치하지만, 소비자가 그에 따른 가격 불확실성과 위험을 부담한다.

A. Ex-ante 가격결정하의 가격 동학: Ex-ante 가격결정하에서 ISO는 [t, t+1] 동안 예측 수요에 대한 예측 공급의 marginal cost로 λ(t)를 설정한다.각 소비자의 valuation이 private하게 알려져 있으므로 ISO는 수요 추정치에 의존한다.
A. Ex-ante 가격결정하의 가격 동학: ISO는 함수 φ(d(t), …, d(t−T))를 사용해 이전 구간의 실제 수요로부터 다음 기간 수요를 forecasts한다.이 예측은 linear autoregressive models로 구현할 수 있다.
A. Ex-ante 가격결정하의 가격 동학: Persistence model은 예측된 다음 기간 수요가 이전 time step의 수요와 같은 특수한 ex-ante 경우다.이 논문은 persistence를 system operators가 사용하는 대표적인 forecasting approach로 규정한다.
A. Ex-ante 가격결정하의 가격 동학: 생산자와 소비자를 representative agents로 집계하면 ex-ante 동학은 convex production cost와 concave consumption value에 의해 지배되는 관계로 축약된다.Representative-agent 구성은 을 참고한다.
B. Ex-post 가격결정하의 가격 동학: Ex-post 가격결정하에서는 소비가 실현된 후 consumption price가 declared after consumption materializes되므로, 소비자는 이전 ex-post 가격을 사용해 이를 예측해야 한다.소비자 j의 예측은 φ_j(λ(t), …, λ(t−T))로 나타낸다.
B. Ex-post 가격결정하의 가격 동학: Persistence price forecasting을 사용하면 ex-post 동학은 ex-ante 동학과 identical to ex-ante dynamics가 되지만, 소비자가 가격 불확실성과 그에 따른 위험을 부담한다.보다 일반적으로 ex-post 동학은 각 개별 소비자가 미래 가격을 예측하는 방식에 따라 달라진다.
B. Ex-post 가격결정하의 가격 동학: Ex-post 정식화는 generators가 optimally dispatched된다고 가정하며, forecast-based ex-ante dispatch와 ideal ex-post dispatch 사이의 차이는 does not model discrepancies한다.이러한 차이의 settlement는 실무적으로 중요하다고 인정되지만 모델에서는 제외한다.

C. Exanté 또는 Ex-post Pricing하의 수요 동역학 · IV. 이론적 프레임워크 · A. 안정성 분석

이 논문은 exanté 및 ex-post pricing에 대한 수요 동학을 별도로 정식화하고, 실시간 전력시장에서 안정성, 강건성, 변동성을 분석하기 위한 Lyapunov 기반 framework를 개발한다. Generalized elasticity와 시장의 maximal relative price-elasticity는 적절한 지수에 대해 MRPE < 1을 포함한 안정성 기준을 제공한다.

C. Exanté 또는 Ex-post Pricing하의 수요 동역학: Exanté pricing에서는 수요가 동시점의 예측 clearing-price 변화에 의존하는 반면, ex-post pricing에서는 가격 변화의 이력에 의존할 수 있다.대표 에이전트 모형에서는 각각 현재 수요 이력에 의해 구동되는 수요 동역학과 시차를 둔 가격 반응에 의해 구동되는 수요 동역학으로 나타난다.
IV. 이론적 프레임워크: 이론적 프레임워크는 실시간 최적화가 feedback loop에 내재화될 때 발생하는 implicit dynamical systems를 대상으로 하며, 시장 동역학, 교란, 가격 안정성, 변동성의 분석을 지원한다.이후의 안정성 분석에서는 앞서 정식화한 clearing-price 동역학에 이 프레임워크를 적용한다.
A. 안정성 분석: 정리 1은 연속 미분 가능한 함수 f와 g의 단조성 및 점근 조건을 통해 계통 궤적을 따라 Lyapunov function이 감소하도록 함으로써 안정성을 확립한다.증명에서는 Lyapunov 수열이 엄밀히 감소하면서 유계이고, 궤적 역시 유계이며 수렴함을 보인다. 이어 표준 논증을 통해 Lyapunov 안정성을 확립한다.
A. 안정성 분석: 가격 동역학에서 이 프레임워크는 inverse cost function과 value function을 통해 계통을 분해하며, 전형적인 공급 함수와 수요 함수에 대해서는 전역적으로 만족하기 어려울 수 있는 충분 안정성 기준을 도출한다.단조 변환 ρ를 사용하면 직접 비교 조건을 완화할 수 있고, 항등 변환을 사용하면 더 단순한 기준을 회복할 수 있다.
A. 안정성 분석: Generalized price-elasticities는 지수 l을 통해 표준 elasticity를 확장하며, MRPE는 시장에서 generalized demand elasticity와 generalized supply elasticity의 최대 비율로 정의된다.l = 1이면 generalized elasticity는 표준 개념으로 환원된다.
A. 안정성 분석: Persistence-model 계통은 어떤 l ≥ 0에 대해 MRPE가 1보다 작을 때 안정적이며, 이에 대응하는 cost-value 계통은 어떤 k ≥ 0에 대해 MRRA가 1보다 작을 때 안정적이다.이 기준들은 logarithmic transformation 또는 power transformation을 사용한 변환 안정성 조건에서 도출된다.
A. 안정성 분석: Power-function 예에서 계통은 β > 2 − α^-1일 때 발산하며, α = β = 2이고 u > 0인 경우 시뮬레이션에서는 u < 1/4일 때 점근적 불안정성이 나타난다.u = 1/4에서는 계통이 적어도 주변 안정 상태에 있으며, 전통적인 price elasticity가 1을 초과하더라도 generalized elasticity를 통해 안정성을 증명할 수 있다.

B. 불변성 분석

정리 2는 연속 미분 가능한 동역학과 단조 상태 변환하에서 자기회귀 상태공간 동역학의 불변 집합을 확립한다. 국소 따름정리는 이러한 조건이 평형점 부근에서 충분하며, 엄격한 부등식이 변환된 불변 평균 변동을 제한함을 보여 주어 시장 및 수요 동역학 분석을 뒷받침한다.

정리 2: 정리 2는 Ω0가 불변임을 확립한다. n+1개의 연속 상태가 Ω0에 놓이면 이후의 모든 상태가 그 안에 남는다.집합 Ω0는 |g(x) − f(x,z)| ≤ γ0로 정의되며, γ0는 최초 n+1개 초기 상태에만 의존한다.
정리 2: 조건 (61)이 엄격하게 성립하면 x의 g-scaled IAV는 위에서 유계다.이 상계는 궤적을 따라 Lyapunov 유사 함수 V가 음이 아닌 데서 따른다.
따름정리 4: 평형점 부근에서는 적절하게 정의된 R^(n+1)의 부분집합에서 조건 (60)–(61)이 국소적으로만 성립하면 불변성이 보장된다.따름정리 4는 국소 집합 eΩ0가 (59)하에서 여전히 불변이며, 초기화 벡터가 eΩ0에 속할 때 엄격한 부등식이 (63)의 상계를 제공한다고 진술한다.
응용: 정리 2와 따름정리 4는 ex-ante 또는 ex-post pricing하의 가격 동역학과 총수요 동역학에 대한 일반적인 자기회귀 모델에 적용된다.이들의 불변 집합은 예측 수요와 실제 공급 사이의 유계 차이가 지속되는 양상을, 필요하면 scaling 후에, 특성화한다.

1) 일반 자기회귀 예측 모델에서의 시장 동학 분석:

이 절에서는 Theorem 2에서 도출된 충분조건을 사용해 선형 자기회귀 가격 예측 모델에서의 시장 안정성을 분석하고, equilibrium 근처에서 그 함의를 검토한다. 분석 결과, persistent prediction에서 불안정한 시스템은 선형 자기회귀 예측만으로 전역적으로 안정화하기 어려울 수 있다.

1) 일반 자기회귀 예측 모델에서의 시장 동학 분석:: 충분조건은 복잡하며, 일반적으로 검증을 위해 수치 계산이 필요하다.
1) 일반 자기회귀 예측 모델에서의 시장 동학 분석:: equilibrium에서는 prediction-model order l과 무관하게 국소 조건이 ϵ_p ≤ 1을 만족하는 generalized producer elasticity로 축약된다.이 조건은 equilibrium price에서 충분조건을 평가하면 도출된다.
1) 일반 자기회귀 예측 모델에서의 시장 동학 분석:: persistent prediction에서 closed-loop market가 불안정하다면, 제시된 형태의 어떤 선형 자기회귀 모델도 전역 안정성을 검증할 수 없다.따라서 이 분석은 충분기준에 기반하지만, 선형 자기회귀 예측을 통해 이러한 시스템을 전역적으로 안정화하는 일은 어려울 수 있음을 시사한다.

2) 외생 입력이 있는 시장 동역학 분석:

분석에서는 외생 입력이 있는 상태공간 시장 동역학에 대한 불변집합과 변동성의 상한을 도출한 뒤, 이를 곱셈형 및 덧셈형 섭동에 적용한다. 안정성은 상대적 가격탄력성, 섭동 크기, 실시간 가격 책정 참여 범위에 좌우된다.

a) 곱셈형 섭동: 곱셈형 모델의 MRPE θ∗가 1에 가까워질수록 작은 섭동도 매우 큰 공급 변동을 일으킬 수 있으며, 이론적 상한은 1/(1−θ∗)이다.불변집합의 크기는 ζκ(θ∗)로 제한되며, 변동성은 e^θ∗로도 특성화할 수 있다.
b) 덧셈형 섭동: 덧셈형 섭동에서는 로그 스케일 공급 변동이 u0/(1−eθ∗)로 상한 제한되며, 불변집합의 크기는 ζκ(eθ∗)로 제한된다.양의 최소 수요가 있으면 안정성 조건을 λ ≥ c˙(u0/2)에서만 확인할 수 있다.
b) 덧셈형 섭동: 비탄력적 수요가 클수록 덧셈형 모델의 안정성 조건을 만족하기 쉬워지는 반면, 많은 인구 비율을 실시간 가격 책정에 노출하면 안정성 문제가 커진다.따라서 주어진 가정하에서는 실시간 가격 책정에 대한 제한적 참여가 심각한 불안정화 효과를 일으키지 않음을 분석 결과가 시사한다.
b) 덧셈형 섭동: 덧셈형 모델의 입력이 주기적이고 수축 조건이 성립하면, 모든 해는 동일한 주기를 갖는 주기 궤도로 수렴한다.이 결과는 u(t)가 주기 T를 갖고 조건 (76)이 충족될 때 적용된다.

C. 변동성

이 절에서는 시장의 상대 가격탄력성과 상대 조정 척도를 변동성과 연결한다. 매개변수가 1보다 작을 때, 로그 스케일 공급량 및 가격 변동 척도는 1과의 역수 간격으로 상계되며, 일반화 및 국소 확장도 제시된다.

C. 변동성: θ∗ < 1이고 η∗ < 1일 때, 공급량과 가격의 로그 스케일 IMV는 각각 C/(1 − θ∗) 및 C/(1 − η∗)로 상계된다.여기서 θ∗와 η∗는 시장 모형의 MRPE와 MRRA이며, C는 외란의 크기에만 의존한다.
C. 변동성: 선형 자기회귀 예측을 사용하면, θ∗ < 1이고 η∗ < 1일 때 공급량과 가격의 로그 스케일 IAV는 각각 C/(1 − θ∗) 및 C/(1 − η∗)로 상계된다.이 상계는 시장 모형 (59)에 적용된다.
C. 변동성: 일반화된 상계는 θ∗(l)과 η∗(l)을 사용한다. 공급량과 가격의 ρ_l-스케일 IMV는 각각 C/(1 − θ∗(l)) 및 C/(1 − η∗(l))로 상계된다.가격이 invariant set에서 유계로 유지되면, 명시된 corollary 조건하에서 전역 매개변수 대신 국소 상대 척도를 사용할 수 있다.

D. Robustness and Incremental L2-Gain

이 절에서는 이산시간 동역학 시스템의 robustness metric으로 ρ-scaled incremental L2-gain을 정의한다. gain이 클수록 market model with multiplicative uncertainty를 포함해 입력 편차와 외란에 대한 출력의 민감도가 커진다.

ρ-scaled incremental L2-gain은 입력 u와 출력 h를 갖는 이산시간 시스템에서 지정된 부등식을 만족하는 최소 γ ≥ 0이다.
gain 조건은 모든 입력/출력 쌍 (u, h)에 대해 성립해야 하므로, 이 metric은 임의의 시스템 궤적에 적용할 수 있다.
gain이 클수록 일반적으로 nominal input에서의 작은 편차가 더 큰 출력 편차를 유발하므로, gain은 외란에 대한 robustness와 민감도를 측정한다.
multiplicative uncertainty를 갖는 market model은 perturbation δ(·)에서 지정된 출력으로의 log-scaled incremental L2-gain을 갖는다.

V. 논의

논의에서는 이 framework를 기존의 완전정보 시장 변동성 연구와 연관 짓고, 수요 측 ramp limit 또는 비탄력적 수요가 response를 안정화할 수 있음을 강조하며, closed-loop 전력시장에서 정보의 가치를 정량화할 필요성을 제기한다.

기존 연구와의 연관성: Cho and Meyn 은 instantaneous clearing과 producer ramp constraint를 갖는 완전 정보 dynamic general-equilibrium model에서 전력시장 변동성을 연구한다.System operator는 producer와 consumer의 cost 및 value function을 알고 있으며, supply와 demand는 time lag 없이 매칭된다.
안정화 메커니즘: Consumer ramp constraint는 price signal에 대한 반응성을 제한하고 consumer elasticity를 낮춤으로써 system을 안정화한다.이 framework는 demand의 변화율을 제한하고 안정화 효과를 갖는 비탄력적 demand component를 통해 이러한 효과를 정성적으로 포착한다.
미해결 문제: 이 논의는 closed-loop 전력시장에서 정보의 가치를 정량화할 필요성을 제기하지만, 이질적이고 시간에 따라 변하는 consumer value와 response를 실시간으로 학습하는 일은 어려워 보인다.Consumer는 자신의 비탄력적 및 탄력적 consumption에 대한 실시간 추정치를 제공할 수 있지만, 해당 passage에서는 그에 따른 정보의 가치 산정 방법을 구체적으로 제시하지 않는다.

VI. 수치 시뮬레이션 · VII. 결론 및 향후 연구

수치 시뮬레이션 결과, real-time pricing은 특히 수요 price-elasticity가 증가할수록 시장 volatility를 크게 높일 수 있는 것으로 나타났다. 결론에서는 대규모 구현에 앞서 더 나은 수요 모델과 market-design 분석이 필요함을 강조한다.

VI. 수치 시뮬레이션: 수요는 외생적 비탄력 수요와 real-time price-responsive term의 결합으로 모델링하며, 비탄력 수요 과정에는 random disturbance를 포함한다.외생적 구성요소는 d1(t) = a0 + a1 sin(t) + a2 sin(2t) + δ1(t)이다.
VI. 수치 시뮬레이션: 시뮬레이션에서는 µ1과 µ2를 정규화하여 real-time-pricing 수요의 평균이 open-loop 수요와 거의 같도록 함으로써 price volatility의 차이만 분리한다.이를 통해 비교에서 평균 수요의 증가 또는 감소 효과를 제거한다.
VI. 수치 시뮬레이션: 시뮬레이션에서는 Relative Volatility Ratio를 사용하여 closed-loop 시장과 open-loop 시장을 비교하며, 이는 두 시장의 log-scaled IAV 값의 비율로 정의된다.두 시장 모두 평균 수요는 5분당 약 4 GW였고, 24시간 동안 가격은 5분마다 갱신되었다.
VI. 수치 시뮬레이션: 두 번째 시뮬레이션에서는 RVR=2.33으로 나타났으며, real-time pricing이 수요 volatility를 높였음에도 시장은 첫 번째 시뮬레이션보다 덜 volatile했다.비용이 quadratic이므로 표시하지 않은 가격도 수요와 유사한 패턴을 따른다.
VI. 수치 시뮬레이션: a가 감소하거나 µ1이 감소하면 수요의 price-elasticity가 증가하므로 Volatility increases.이 경향은 네 개의 value function, v(x) = x1/a with a = 4, 4.5, 5, 5.5에 대해 50회의 randomized simulation을 수행하여 추정했다.
VII. 결론 및 향후 연구: Real-time retail pricing은 매우 volatile하거나 unstable할 수 있는 closed-loop feedback system을 형성하며, stable system의 volatility와 disturbance robustness는 relative price-elasticity로 특성화된다.결론에서는 real-time pricing하의 전력 시장에서 stability와 volatility를 조사한 내용을 요약한다.
VII. 결론 및 향후 연구: 대규모 구현을 위해서는 더욱 정교한 수요 모델, real-time price에 대한 소비자 반응에 관한 심층적 이해, 그리고 대안적 market mechanism과 system architecture에 대한 분석이 필요하다.논문은 real-time pricing을 대규모로 구현하기 전에 이러한 주제들을 검토해야 한다고 지적한다.