Optimal Power Allocation for Outage Minimization in Fading Channels with Energy Harvesting Constraints

Chuan Huang; Rui Zhang; Shuguang Cui

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Optimal Power Allocation for Outage Minimization in Fading Channels with Energy Harvesting Constraints

Chuan Huang, Rui Zhang, Shuguang Cui

arXiv:1212.0075v22012년 12월 1일cs.NIcs.PF

TL;DR

이 논문은 시간에 따른 energy-harvesting 제약이 있는 fading channel에서 outage를 최소화하는 power allocation을 연구한다. 비볼록성에도 불구하고 globally optimal한 offline 해를 도출하고, save-then-transmit 구조를 규명하며, dynamic programming을 사용해 optimal 및 suboptimal online 기법을 개발한다.

문제
이 논문은 fading channel에서 시간에 따라 harvest되는 energy에 의해 제약되는 전송의 outage 최소화를 다룬다.
방법
이 논문은 globally optimal한 offline allocation을 도출하고, dynamic programming을 사용해 optimal 및 suboptimal online 기법을 개발한다.
결과
outage 최소화 power-allocation 문제는 일반적으로 non-convex인 반면, optimal offline allocation은 save-then-transmit protocol을 따른다.
핵심 시사점 및 한계
N = 1인 경우, 결과는 fading channel의 고전적인 outage-capacity 문제를 다시 다룬다.

Abstract

from arXiv · show

This paper studies the optimal power allocation for outage minimization in point-to-point fading channels with the energy-harvesting constraints and channel distribution information (CDI) at the transmitter. Both the cases with non-causal and causal energy state information (ESI) are considered, which correspond to the energy harvesting rates being known and unknown prior to the transmissions, respectively. For the non-causal ESI case, the average outage probability minimization problem over a finite horizon is shown to be non-convex for a large class of practical fading channels. However, the globally optimal "offline" power allocation is obtained by a forward search algorithm with at most $N$ one-dimensional searches, and the optimal power profile is shown to be non-decreasing over time and have an interesting "save-then-transmit" structure. In particular, for the special case of N=1, our result revisits the classic outage capacity for fading channels with uniform power allocation. Moreover, for the case with causal ESI, we propose both the optimal and suboptimal "online" power allocation algorithms, by applying the technique of dynamic programming and exploring the structure of optimal offline solutions, respectively.

I. 서론

이 논문은 energy-harvesting 제약이 있는 fading channel에서 delay-constrained transmission을 대상으로, non-causal 및 causal energy-state information을 고려한 finite-horizon outage minimization을 정식화한다. 또한 threshold, forward-search, dynamic programming 및 lower-complexity scheme을 포함한 offline 및 online allocation 방법을 도출한다.

I. 서론: Energy harvesting은 cumulative constraint를 부과한다. 즉, 어느 시점까지 소비한 energy도 그때까지 수확한 energy를 초과해서는 안 된다.
I. 서론: 이 논문은 receiver CSI와 transmitter CDI가 주어진 상황에서, non-causal 또는 causal ESI하에 M개 block으로 구성된 N개 EH period 동안 constant-rate, delay-constrained transmission을 연구한다.Non-causal ESI는 transmission 전에 모든 Qi를 알려주며, causal ESI는 period i에서 Q1부터 Qi까지를 알려준다.
I. 서론: N = 1일 때 outage probability는 일반적으로 concave-convex 형태이므로 power-controlled minimization은 non-convex가 되지만, one-dimensional search로 global optimum을 구할 수 있다.최적 해는 rate와 CDI로 결정되는 threshold 이상에서는 uniform power이고, 그 이하에서는 on-off transmission이다. 이 on-off scheme은 low-power outage를 개선하며 M이 증가할수록 asymptotically optimal해진다.
I. 서론: N > 1이고 non-causal ESI인 경우, forward-search algorithm은 최대 N회의 one-dimensional search를 사용해 globally optimal offline allocation을 찾는다.최적 profile은 시간에 따라 non-decreasing하며 save-then-transmit structure를 갖는다. 또한 lower-complexity suboptimal algorithm은 exhaustive search를 수행하지 않는다.
I. 서론: N > 1인 causal ESI의 경우, optimal online policy를 MDP로 정식화하고 dynamic programming으로 해결하며, suboptimal scheme은 performance-complexity tradeoff에서 더 높은 유연성을 제공한다.

II. 시스템 모델 및 문제 정식화 … 1) Non-causal ESI:

이 논문은 각 기간이 M개의 communication block으로 구성된 N개의 energy-harvesting period에 걸친 block-fading 전송을 모델링하고, non-causal energy-state information하에서 finite-horizon outage minimization을 정식화한다. Non-causal 정식화에서는 모든 harvesting rate를 사전에 알고 있다고 가정하며, optimal power allocation의 구조적 특성을 도출한다.

A. System Model: 시스템은 각각 M개의 unit-length communication block으로 구성된 N개의 energy-harvesting period에 걸치며, harvesting rate는 각 기간 내에서 일정하게 유지된다.harvesting process는 channel fading보다 느리게 변하므로 각 기간의 M개 block에서 rate를 일정하게 둘 수 있다.
A. System Model: 채널은 block-fading 채널이다. channel gain은 communication block 간 i.i.d.이고 transmitter에는 알려지지 않지만, receiver에서는 완벽하게 알려져 있다.전송 신호는 power P_i,j를 사용하며, receiver는 unit variance를 갖는 independent CSCG noise를 경험한다.
A. System Model: 모든 NM block은 rate R로 전송하며, outage probability F(P_i,j)는 transmit power, fading distribution, rate에 의해 결정되고 power에 대해 strictly decreasing하다.따라서 모델의 가정하에서는 transmit power를 높이면 outage probability가 낮아진다.
B. Problem Formulation: 논문은 non-causal 및 causal energy-state information 모두에 대해 finite-horizon average outage minimization을 정식화한다.Non-causal 경우에는 모든 N개 기간의 energy-harvesting rate level을 전송 전에 알고 있다고 가정한다.
1) Non-causal ESI:: Non-causal energy-state information하에서는 각 block의 transmit power가 기간 전체에서 누적된 harvested energy에 의해 제약되며, unit block length가 energy와 power를 정규화한다.이에 따라 energy-harvesting constraint하에서 NM개 communication block에 대한 average outage를 최소화하는 문제가 도출된다.
1) Non-causal ESI:: Optimal non-causal allocation은 시간에 따라 non-decreasing하도록 선택할 수 있지만 유일하지 않을 수 있으며, final block까지 사용 가능한 energy를 모두 소진한다.감소하는 power value를 서로 바꾸어도 feasibility와 objective value가 유지되므로 비유일성이 발생하며, F가 strict decrease이므로 final energy를 사용하는 것이 최적이다.

2) Causal ESI: · III. N = 1인 경우의 최적 전력 할당 · A. Outage Probability Function의 특성

causal ESI에서는 battery state가 Markov process를 이루고 현재 harvesting rate만 알려져 MDP formulation이 된다. N = 1인 경우 outage function의 특성이 causal 및 non-causal ESI 모두에 대한 allocation algorithm을 뒷받침하며, 특히 Type B fading channel에 유용하다.

2) Causal ESI:: battery state {B_i,j}는 초기 storage가 0인 first-order Markov process이며, 현재 harvesting rate Q_n만 알려지고 미래 rate는 random으로 남는다.이에 따라 형성되는 문제군은 MDP이며, dynamic programming을 통해 optimal solution을 분석한다.
III. N = 1인 경우의 최적 전력 할당: N = 1인 경우, 논문은 causal 및 non-causal ESI 모두에 적용되는 optimal power allocation과 complexity가 낮은 suboptimal power allocation을 도출한다.먼저 outage-probability의 특성을 확립한 뒤 이를 Problems (P1) 및 (P2)에 적용한다.
A. Outage Probability Function의 특성: Weibull fading에서는 channel diversity를 제어하고 β = 2에서 Rayleigh fading을 포함하는 모든 fading parameter β에 대해 outage probability가 non-convex하다.따라서 Weibull model은 서로 다른 diversity order를 갖는 실용적인 channel을 나타낸다.
A. Outage Probability Function의 특성: Proposition 3.1은 Weibull outage function이 [0, P_b]에서 concave이고 P > P_b에서 convex임을 보인다.이는 P_b에서 second derivative의 부호가 변하기 때문이다.
A. Outage Probability Function의 특성: (0, 1)과 (P_a, F(P_a))를 잇는 line보다 outage curve가 계속 위에 있도록 하는 unique P_a > P_b가 존재하며, 이를 bisection으로 계산할 수 있다.논문은 P_a가 일반적으로 closed-form expression을 갖지 않지만, 주어진 tolerance 이내로 근사할 수 있다고 설명한다.
A. Outage Probability Function의 특성: Type B outage function은 unique 0 < P_b ≤ P_a를 갖는 concave-convex shape이며, Type A function은 P_a = P_b = 0인 특수한 경우다.Weibull, Rician, Nakagami, double Rayleigh fading은 일반적으로 Type B function을 이루며, 임의의 outage function은 어느 type에도 해당하지 않을 수 있다.

B. N = 1에서의 최적 전력 할당

N = 1이면 완화된 outage 최소화 문제의 해가 원래 문제의 전역 최적 할당이 된다. 최대 한 개 블록만 P_b보다 작은 전력을 사용하고, 그보다 큰 양의 전력은 모두 동일하다. 해는 최대 한 번의 일차원 탐색으로 구할 수 있으며, 저전력 또는 높은 outage 영역에서는 균일 할당이 최적이 아닐 수 있음을 보인다.

N = 1에서의 최적성: N = 1일 때 완화된 Problem (P3)의 해는 Problem (P1)에 대해서도 최적이다.비감소 최적해는 생략된 에너지 제약을 만족하므로 완화가 tight해진다.
N = 1에서의 최적성: 최적 profile에는 P_b보다 작은 엄밀히 양의 전력이 최대 한 개만 존재하며, P_b보다 큰 모든 전력은 동일하다.따라서 P3를 푸는 문제는 예외적인 블록의 개수와 그보다 작은 전력값을 찾는 문제로 축약된다.
해법: Q_1 < P_a일 때 최적 할당을 계산하려면 일차원 탐색만 필요하지만, 단조성이 보장되지 않으므로 exhaustive search가 필요하다.F(P_j)가 non-convex인 경우, 예를 들어 Type B fading에서는 문제가 그 밖에 non-convex이다.
저전력 영역: Q_1 < P_a인 Type B fading에서는 균일 할당이 최적이 아닐 수 있으며, 이는 저전력 또는 높은 outage 영역에 해당한다.이 영역에서는 on-off 할당이 최소 outage probability를 달성한다.

C. N = 1에서의 준최적 전력 할당 · IV. N > 1인 경우의 오프라인 전력 할당

N = 1에서는 threshold P_a가 M이 증가할수록 점근적으로 최적인 on-off 할당을 유도하며, 다음 절에서는 non-causal ESI를 가정해 오프라인 할당을 N > 1로 확장한다.

C. N = 1에서의 준최적 전력 할당: threshold P_a는 Q_1 < P_a일 때 할당 구조를 결정하므로 최적 전력 할당의 핵심이 된다.allocation은 P_a 부근에서 대부분 서로 동일한 nonzero power를 사용하며, P_b보다 작은 예외가 최대 하나 존재한다.
C. N = 1인 Suboptimal Power Allocation: Q_1 < P_a일 때 optimal nonzero power는 P_b보다 작은 하나를 제외하면 동일하며, P_a에 최대한 가깝게 설정된다.이 구조는 on-off 2-level allocation의 동기가 된다.
C. N = 1에서의 준최적 전력 할당: N = 1에서 이 방식은 최적 할당에 근접한 성능을 낼 수 있는 on-off two-level strategy를 통해 최적 할당 구조를 포착한다.활성 블록에는 균일한 전력을 사용하고, 활성 블록의 개수는 별도로 결정한다.
C. N = 1에서의 준최적 전력 할당: 제안된 N = 1 방식은 “on” 블록에 전력을 균일하게 할당하고 활성화할 블록 수를 선택하여 exhaustive search를 피한다.Q_1 ≥ P_a이면 모든 M개 블록에서 전력 Q_1로 전송한다.
C. N = 1에서의 준최적 전력 할당: 이 on-off 전력 할당은 M이 무한대로 갈 때 N = 1인 Problem (P1)에 대해 점근적으로 최적이다.이 극한에서 활성 상태의 전력은 P_a로 수렴한다.
IV. N > 1인 경우의 오프라인 전력 할당: N > 1에 대한 오프라인 할당 분석은 non-causal energy-state information하에서 Problem (P1)의 최적 및 준최적 해를 도출한다.제공된 부분은 이를 일반적인 경우를 다루는 절의 범위로 제시한다.

A. N > 1에서의 최적 오프라인 전력 할당

N > 1인 경우, 최적의 비감소 할당은 save-then-transmit 및 on-off 구조를 갖는다. 즉, 먼저 침묵 구간이 나타난 뒤 전송이 시작되며, 이후 Pb보다 큰 전력을 사용하고 에너지가 고갈되면 전력이 증가한다. Algorithm II는 최대 N회의 일차원 탐색으로 이 전역 최적 프로파일을 계산하며 복잡도도 낮다.

최적 전력 프로파일 구조: 최적 프로파일은 처음에 침묵 상태를 유지하고, 한 번은 Pb 미만의 전력을 사용할 수 있으며, 이후 Pb보다 큰 전력으로 전송하다가 수확 에너지가 고갈되면 전력을 증가시킨다.이 구조는 양의 Pb 미만 전력을 최대 한 번만 허용하는 제약과 Pb보다 큰 연속 전력을 지배하는 조건에서 도출된다.
최적 알고리즘: Algorithm II는 전송 시작 시점과 초기 전력 파라미터를 결정하여 Problem (P1)의 N > 1에 대한 globally optimal 비감소 해를 계산한다.이 알고리즘은 EH period를 대상으로 forward search를 수행해 Pb 미만 전송 블록이 존재할 수 있는 period를 식별한 뒤, 나머지 할당을 효율적으로 계산한다.
전송 정책: fading-channel outage 목적함수는 non-convex이므로, 최적 전략은 가용 전력이 충분히 클 때만 전송하는 on-off transmission이다.이는 concave throughput 설정과 대조되며, 본 연구에서 고려한 Type B outage probability function에 적용된다.
복잡도: 알고리즘은 일차원 탐색을 at most N times 반복하며, 이러한 탐색을 제외하면 O(N^2)의 계산량을 갖고, NM communication block에 대해 최적화하는 것보다 계산량을 줄인다.일차원 탐색이 주요 계산 부담이다.

B. N > 1인 준최적 오프라인 전력 할당 · V. 온라인 전력 할당 · A. 최적 온라인 전력 할당

N > 1일 때 Algorithm III은 M이 증가함에 따라 점근적으로 최적인 낮은 복잡도의 오프라인 할당을 제공하며, causal-ESI 온라인 할당은 dynamic programming을 통해 최적으로 해결된다. 온라인 정식화는 시간에 따라 결합된 배터리 상태를 고려하고 최소 평균 outage probability를 재귀적으로 계산한다.

B. N > 1인 준최적 오프라인 전력 할당: Algorithm III은 다음에 전력이 고갈될 가능성이 있는 EH period를 탐색한 뒤, bPi ≥ Pa이면 best-effort transmission을 사용하고 그렇지 않으면 on-off transmission을 사용한다.on-off 경우에는 할당 전력이 Pa와 같거나 그보다 크게 되도록 보장한다.
B. N > 1인 준최적 오프라인 전력 할당: Algorithm III은 N > 1인 Problem (P1)에 대해 낮은 복잡도의 해를 제공하며, M이 infinity로 갈 때 점근적으로 최적이다.N = 1 준최적 할당 구조와 최적해의 EH-period search indices를 결합한다.
V. ONLINE POWER ALLOCATION: causal ESI만 주어지고 N > 1인 경우, 논문은 dynamic programming을 사용해 최적 online 해를 도출하고 더 낮은 복잡도의 준최적 알고리즘도 제안한다.이 접근법은 N = 1 결과를 기반으로 하면서 다기간 causal-ESI 설정을 다룬다.
A. 최적 온라인 전력 할당: 배터리 상태가 시간에 따라 결합되므로 온라인 전력 변수는 일반적으로 EH periods 간에 독립적으로 최적화할 수 없다.이 결합은 N > 1인 Problem (P2)에 대한 dynamic-programming 정식화를 뒷받침한다.
A. 최적 온라인 전력 할당: Problem (P2.n)에서 dynamic programming은 JN(QN, BN)부터 Jn(Qn, Bn)까지 최소 평균 outage probability를 재귀적으로 계산한다.이 재귀는 초기 상태 Qn 및 Bn = Bn,1이 주어질 때 1 ≤ n ≤ N에 대해 적용된다.
A. 최적 온라인 전력 할당: 온라인 dynamic programs는 비감소하는 최적 전력 할당을 선택하여 첫 M − 1개의 EH constraints를 제거한다.이 축약 이전에는 각 subproblem이 M개의 EH constraints를 유지한다.
A. 최적 온라인 전력 할당: Problems (P4.i)는 Bi+1을 고정하고 Bi+1을 0부터 Bi + MQi까지 탐색하면서 Theorem 3.1을 적용해 해결한다.이 절차는 N = 1 결과를 재사용하면서 dynamic programming으로 MDPs를 해결한다.

B. Suboptimal Online Power Allocation … VII. CONCLUSION

이 논문은 energy-harvesting 제약하에서 outage 최소화를 위한 offline 및 online power-allocation 방법을 개발하며, causal energy information을 위한 q-period look-ahead 기법도 포함한다. 수치 결과는 online 방법이 offline 성능에 근접할 수 있음을 보이며, optimal offline allocation은 save-then-transmit 구조를 갖는다.

B. Suboptimal Online Power Allocation: q-period look-ahead algorithm은 discrete-time first-order Markov EH process에서 현재 battery state와 향후 q − 1개 기간의 predicted harvested-energy means를 사용한다.prediction window는 q ≥2를 만족하며, harvested energy의 mean values만 이용할 수 있다면 정확한 future-energy distribution을 알 필요는 없다.
B. Suboptimal Online Power Allocation: suboptimal online procedure는 N-th energy-harvesting period까지 optimal 또는 suboptimal algorithm을 사용해 current period’s allocation을 반복적으로 계산한다.q = 1이면 각 energy-harvesting period가 끝날 때 저장된 harvested energy를 모두 소진하는 greedy allocation으로 환원된다.
A. The Case of N = 1: N = 1일 때 optimal allocation의 outage probability는 Q1 < Pa에서 uniform allocation보다 크지 않으며, M이 무한대로 접근하면 optimal 및 suboptimal scheme이 수렴한다.M이 증가하면 minimum outage probability는 M →∞ 값으로 수렴하고, limiting optimal curve는 [0, 1]과 [Pa, F(Pa)]를 연결한다.
VII. CONCLUSION: 이 논문은 대부분의 practical fading channel에서 outage probability가 transmit power에 대해 일반적으로 non-convex임을 밝혀 power-allocation problem을 non-convex하게 만든다.outage-probability의 성질과 energy-harvesting 제약의 causality structure를 활용해 globally optimal solution을 도출한다.
VII. CONCLUSION: optimal offline allocation은 save-then-transmit protocol을 따르며, causal energy-information 환경에서는 dynamic programming과 offline-solution structure에 기반한 optimal 및 suboptimal online scheme을 사용할 수 있다.N = 1일 때 결과는 새로운 관찰과 함께 classic outage-capacity problem을 재검토한다.

부록 A · 명제 3.2의 증명 · 부록 B

증명은 (0, 1)과 outage-probability curve 위의 점을 잇는 직선의 기울기를 분석해 명제 3.2를 확립한다. 기울기가 하한을 가짐을 보여 원하는 점이 존재함을 보장한다.

명제 3.2의 증명: 증명에서는 outage-probability curve 위의 (0, 1)과 (P, F(P))를 지나는 직선의 기울기를 S(P)로 정의한다.
명제 3.2의 증명: S(P)의 lower bound는 원하는 점을 해당 bound에서 찾을 수 있음을 의미한다.
명제 3.2의 증명: 논증에서는 모든 P > 0에 대해 slope function을 살펴본다.
명제 3.2의 증명: P가 infinity에 가까워지면 numerator가 bounded로 유지되므로 S(P) approaches 0이다.
명제 3.2의 증명: 충분히 큰 A > 0에 대해 S(0) = 0으로 정의하면 S(P)는 [0, A]에서 bounded above and below이다.
명제 3.2의 증명: A를 넘어서면 S(P)는 non-positive인 상태에서 증가하므로 lower-bounded로 유지되며, 이로써 증명이 완결된다.

정리 3.1의 증명

이 증명은 concave-convex Type B 함수의 기하학적 성질을 확립하고, 이를 이용해 최적화를 유한한 endpoint 후보들로 축소한다. 이어서 이 후보들의 순서를 정해 Q1 < Pa일 때 최적해를 식별하며, Q1 ≥ Pa인 경우는 k0 = 0인 특수한 경우로 따른다.

기하학적 관찰: Type B 함수에서는 지정된 secant lines가 관련 함수값보다 위에 놓이며, 증명 전반에서 사용되는 기하학적 부등식을 제공한다.0 ≤ X1 ≤ X2 ≤ X3 ≤ Pa일 때 L1(X0) ≥ L2(X0)이고, Pa ≤ X0 및 0 ≤ X1 ≤ X0 ≤ X2일 때 L3(X0) ≥ F(X0)이다.
Lemma B.1: Lemma B.1은 관련 block-allocation 목적함수가 endpoint에서 최솟값을 달성하며, 적용되는 endpoint는 Pa가 MQ1/k보다 작은지에 따라 결정됨을 보인다.증명에서는 하나의 변수 power와 나머지 동일한 power를 갖는 profile을 고려한 뒤, Type B 기하를 이용해 그 결과 outage 값들을 비교한다.
Q1 < Pa인 경우: Q1 < Pa일 때 Problem (P3)의 최적값은 후보값 {pk}, k = 1, · · · , M 중 하나로 제한된다.이 후보들은 초기 zero-power block의 개수가 하나이고, 나머지 block들에 power가 균등하게 할당된 profile에 해당한다.
Q1 < Pa인 경우: 후보 outage 값들은 k0의 양쪽에서 순서가 정해지며, (19)와 Proposition 3.3을 통해 optimal power allocation과 그 범위가 도출된다.구체적으로 pM > pM−1 > · · · > pk0+1이고 pk0 < pk0−1 < · · · < p1이다.
Q1 ≥ Pa인 경우: Q1 ≥ Pa인 경우는 k0 = 0으로 설정해 얻는 Q1 < Pa의 특수한 경우이므로, 그 증명은 유사하며 Theorem 3.1을 완결한다.논문은 남은 경우가 동일한 논증으로 따른다고 명시하고, 반복되는 세부 내용은 생략한다.

부록 C N > 1인 문제 (P1)의 최적 전력 할당 알고리즘

N > 1인 경우, Algorithm II는 energy-harvesting period 전반에서 feasible power profile을 재귀적으로 탐색하고, 필요할 때 탐색 범위를 확장하여 최적 할당에 도달한다. 그 결과 얻은 profile은 시간에 따라 non-decreasing하며 save-then-transmit 구조를 따른다.

탐색 절차: Algorithm II는 energy-harvesting period 전반을 재귀적으로 탐색하며, best-effort transmission에는 Case I을 사용하고 더 낮은 전력의 communication block을 찾고 최적화하는 데는 Case II를 사용한다.후보 할당이 outage performance를 개선할 가능성이 있으면 Case II가 탐색 영역을 확장하고, 동시에 energy feasibility와 outage reduction을 확인한다.
최적성 검사: 이 절차는 N번째 energy-harvesting period에 도달하거나 확장으로 performance를 개선할 수 없을 때까지 검사를 반복한 뒤, 그 결과 profile을 optimal로 받아들인다.새로 도출된 profile이 관련 energy-harvesting constraint를 만족하고 더 낮은 outage probability를 산출할 때만 탐색 업데이트를 계속한다.
결과 power profile: Problem (P1)의 optimal solution은 시간에 따라 non-decreasing하며 save-then-transmit structure를 갖는다.초기 전력이 P_a보다 훨씬 작으면 transmitter는 energy를 저장하는 동안 silent 상태를 유지한 뒤, 축적된 energy가 P_a에 충분히 가까워지면 non-decreasing power로 연속 전송한다.

부록 D · 정리 4.1의 증명

이 부록은 power-changing block과 first-difference case를 빠짐없이 분석하고, 최적해를 Algorithm II와 비교하여 Theorem 4.1을 증명한다. 논증에서는 energy-harvesting constraint의 등식, waterfilling, convexity, contradiction을 이용해 모든 비최적 profile을 배제한다.

정리 4.1의 증명: 증명에서는 관련 energy-harvesting constraint가 block boundary에서 등식으로 달성됨을 반복해서 보인다.이 등식은 이후 power-changing block에 대해 제시되며, 대안 profile을 배제하는 contradiction 논증에도 사용된다.
정리 4.1의 증명: 증명에서는 첫 번째로 달라지는 communication block까지 최적 profile을 Algorithm II와 일치시킨 뒤, 그 차이가 발생할 수 있는 세 위치를 분석한다.경우는 첫 번째 power-changing block의 전, 해당 block에서, 그 후의 순서로 정리되며, boundary에서의 추가 subcase도 고려한다.
정리 4.1의 증명: 첫 번째로 달라지는 block에서 power를 저장하는 경우, 증명에서는 이후 block들에 이를 waterfilling 방식으로 재할당하면서 적절한 block range에서는 동일한 allocation을 유지한다.새로 얻은 power가 이후 block 값보다 커지면 construction은 range를 점진적으로 병합한다.
정리 4.1의 증명: 구성된 대안은 Algorithm II의 Step (2.2.2.4)을 한 번 수행한 결과에 해당하므로, algorithm의 search procedure에 의해 비최적임을 보일 수 있다.이는 대안이 이후 communication block의 일정 range를 통해 달라지는 경우를 배제한다.
정리 4.1의 증명: 두 번째 power-changing block에서 시작하도록 새로 정의한 problem의 optimal value는 비교한 profile의 outage probability보다 크지 않지만, full-horizon profile은 그 해보다 우수하다.새로 정의한 problem은 최종 Algorithm II iteration의 special case이므로, 해당 경우는 optimal일 수 없다.
정리 4.1의 증명: 첫 번째 차이가 initial power-changing block 이후에 발생하면 allocation은 convex regime에 남으므로, 의 Theorem 1과 유사한 논증을 사용해 이 경우를 배제한다.이 경우 power value가 P ∗ i,j ≥ Pb를 만족한다고 증명에서 서술한다.
정리 4.1의 증명: 각 경우의 분석을 종합하면 Theorem 4.1이 증명된다.profile 간 첫 번째 차이가 발생할 수 있는 모든 위치를 배제한 뒤 결론이 따른다.