Estimating the sample mean and standard deviation from the sample size, median, range and/or interquartile range

배경

• 서술적 문헌고찰은 전문가의 판단에 의존하는 반면, 체계적 문헌고찰은 명시적 선정 기준을 적용하고 연구들을 통합해 치료 효과 추정의 정밀도를 높인다.검토자마다 판단 기준이 다르면 동일한 연구에서도 상반된 결론이 나올 수 있다.출처: Background · pp. 1–2
• 제안한 접근법은 표본 크기를 반영해 Hozo et al. 의 표준편차 추정량이 지닌 한계를 해결한다.기존 표준편차 추정량은 표본 크기 정보를 반영하지 않으며, 저자들은 이를 실무상 심각한 한계로 지적한다.출처: Background · p. 2
• 연속형 결과의 메타분석에는 표본 크기, 평균, 표준편차가 필요하지만, 임상시험에서는 중앙값, 최솟값과 최댓값 또는 사분위수만 보고하기도 한다.누락된 평균과 표준편차를 추정하면 이러한 임상시험 결과를 일관된 형식으로 통합할 수 있다.출처: Background · p. 2
• 이 연구는 표본 크기와 함께 중앙값 및 최솟값·최댓값(C1), 중앙값 및 사분위수와 최솟값·최댓값(C2), 중앙값 및 사분위수(C3)가 보고된 경우를 다룬다.Hozo et al. 의 방법은 C1만 다뤘다. 이 논문은 각 경우에서 제안 방법의 우수성을 입증하는 모의실험 결과를 제시하고, 메타분석 지침을 정리한 표로 마무리한다.출처: Background · p. 2, Estimating ¯X and S from C1 · p. 2

C1에서 ¯X와 S 추정

• C1에서의 추정은 최솟값, 중앙값, 최댓값, 표본 크기를 사용하며, 정규분포에서의 표본추출과 양의 정수 Q에 대해 n = 4Q + 1을 가정한다.이 절에서는 기존 방법의 표준편차 추정상 한계를 검토한 뒤 표본 크기를 반영한 개선안을 소개한다.출처: Estimating ¯X and S from C1 · p. 2

Hozo et al.의 방법

• Hozo et al.은 중앙값 아래와 위의 순서통계량에 대한 부등식을 합산하여 얻은 상하한으로 표본평균을 추정한다.표본이 크면 추정량의 두 번째 항을 무시할 수 있어 추정식을 단순화할 수 있다.출처: Hozo et al.’s method · p. 3
• Hozo et al.은 음이 아닌 자료를 가정하여 표준편차 추정식을 유도하고, 큰 표본에 적용할 범위 기반의 경험적 추정 규칙을 제시한다.출처: Hozo et al.’s method · p. 3
• 기존의 범위 기반 추정 규칙은 표본크기를 고려하지 않으며, 표본이 극히 작거나 크면 성능이 떨어질 수 있다.이러한 한계로 인해 Hozo et al.은 표본크기에 따라 규칙을 수정했다.출처: Hozo et al.’s method · p. 3
• Hozo et al.이 표본크기에 따라 조정한 범위 기반 추정 규칙은 대부분의 조건에서 기존 규칙보다 성능이 좋다.n ≤ 15에 대한 규칙은 자료의 값들이 등간격으로 배치되어 있다고 가정하며, n > 70에 대한 규칙은 체비쇼프 부등식 에 근거해 제안되었다.출처: Hozo et al.’s method · p. 3

S의 추정 개선

• Hozo 등의 공식은 표본 크기의 임계값이 다소 자의적이고, 정규성 가정하에서 대표본 극한이 일관되지 않으며, 자료가 비음수여야 한다는 제약이 있다.임계값은 15와 70이다. σ가 유한한데도 대표본 추정값 (b − a)/6은 n이 증가하면 무한대로 발산한다.출처: Improved estimation of S · p. 3
• 제안한 추정량은 관측값이 비음수일 필요 없이 ξ(n) = 2E(Z(n))을 이용해 범위의 척도를 조정한다. 여기서 Z(n)은 표준정규분포의 최댓값 순서통계량이다.정규성 가정하에서 E(b − a) = 2σE(Z(n))이 성립하므로, 표본 크기에 따라 척도를 조정한다.출처: Improved estimation of S · pp. 3–4
• n ≤ 50에서 수치적분으로 구한 ξ(n) 값은 Hozo 등의 적응형 공식 (6)이 정확도와 유연성 모두 낮음을 보여준다.이 값들은 Table 1에 제시되어 있다.출처: Improved estimation of S · p. 4
• n > 50에서는 Blom의 방법 이 실용적인 절충값 α = 0.375를 사용해 정규분포의 최댓값 순서통계량의 기댓값을 근사한다.최종 표준편차 근사식은 순서통계량 근사식과 범위 기반 추정량에 r = n과 α = 0.375를 대입해 얻는다.출처: Improved estimation of S · p. 4

C2에서 ¯X와 S 추정

• 시나리오 C2는 제일사분위수와 제삼사분위수를 추가하며, 제안한 확장법은 표본 크기를 반영하여 Bland 방법 의 한계를 보완한다.Bland 방법 은 Hozo 등의 추정량에 사분위범위(IQR)를 반영하며, 평균과 표준편차 모두를 더 정확하게 추정한다고 주장한다.출처: Estimating ¯X and S from C2 · p. 4

Bland의 방법

• Bland는 정렬된 관측값의 상·하한을 인접한 요약값 a, q1, m, q3, b로 정한 뒤, 부등식을 합해 표본평균의 상·하한을 구한다.유도 과정에서는 n = 4Q + 1을 가정하므로 Q = (n − 1)/4이다.출처: Bland’s method · pp. 4–5
• Bland는 표본평균을 상한과 하한의 중간값인 (LB2 + UB2)/2로 추정한다.대표본에서는 양쪽 경계의 무시할 만큼 작은 두 번째 항을 생략해 추정식을 단순화한다.출처: Bland’s method · p. 5
• Bland는 유사한 부등식, 대수적 변형, 근사를 거친 뒤 마지막으로 제곱근을 취해 표준편차 추정값을 유도한다.추정된 분산 S^2에 제곱근을 취한다.출처: Bland’s method · p. 5
• Bland의 표준편차 추정량은 표본 크기 n에 의존하지 않아 일반적으로 활용하기에 미흡할 수 있으며, 특히 표본이 작거나 클 때 문제가 될 수 있다.다음 절에서는 표준편차 추정을 개선하기 위해 표본 크기를 반영하는 방법을 제안한다.출처: Bland’s method · p. 5

S의 개선된 추정

• 시나리오 C2에서 제안한 표준편차 추정량은 범위 기반 추정값과 IQR 기반 추정값 (q3 − q1)/η(n)을 결합하며 표본 크기를 반영한다.이는 첫째와 셋째 사분위수도 주어진 경우 이를 활용하여 범위 기반 추정을 확장한 것이다.출처: Improved estimation of S · p. 5
• Q ≤50인 경우 Table 2에 η(n) = 2E(Z_(3Q+1))이 제시되어 있으며, 큰 표본에서는 정규분포 분위수 근사를 권장한다.여기서 n = 4Q + 1이며, 표의 값은 R로 계산했다. Formula (13)은 formula (11)보다 간결하며, 수치 비교는 모의실험에서 다룬다.출처: Improved estimation of S · pp. 5–6, Table 2 · p. 5

C3에서 ¯X와 S 추정

• C3에서 부등식 기반 접근법은 상하한이 정해지지 않는 평균 추정값만 제공하므로 Hozo et al.과 Bland의 방법을 적용할 수 없다.C3에서는 IQR이 일반적으로 범위보다 이상치에 덜 민감하므로 최솟값과 최댓값 대신 첫째와 셋째 사분위수를 보고한다.출처: Estimating ¯X and S from C3 · p. 6
• [11,12]에서 널리 쓰이는 중앙값과 IQR을 이용한 대치 절차는 범위를 복원한 뒤 Hozo et al. 의 방법을 적용하는데, 모의실험에서 성능이 매우 저조했다.복원된 양 끝점은 중앙값에서 각 사분위수까지 거리의 두 배만큼 중앙값 아래와 위에 놓인다. 모의실험 결과는 제시하지 않았다.출처: Estimating ¯X and S from C3 · p. 6

¯X와 S를 추정하는 분위수 방법

• 시나리오 C3에서 최솟값과 최댓값을 알 수 없으면 표본평균을 (q1 + m + q3)/3으로 추정한다.E(q1 + m + q3) = 3µ이므로 이 분모를 사용한다.출처: A quantile method for estimating ¯X… · p. 6
• 표준편차 추정량은 표본 크기에 의존하는 η(n)을 사용하며, Q ≤ 50에서는 표에 제시된 수치를, 대표본에서는 정규분포 분위수 근사식을 이용한다.표본 크기가 커질수록 η(n)은 약 1.35에 가까워지고, 근사식의 분모는 1.34898에 가까워진다.출처: A quantile method for estimating ¯X… · p. 6
• 소표본에서는 제안한 표준편차 추정량이 표본 크기에 무관한 Cochrane Handbook 추정량보다 더 정확한 추정치를 제공한다.따라서 표본 크기에 무관한 추정량은 범용적으로 사용하기에 미흡할 수 있다.출처: A quantile method for estimating ¯X… · p. 6

C1의 시뮬레이션 연구

• 정규분포 자료에서 Hozo et al.의 방법은 상대오차가 -20%에서 20%였으나, 새 방법은 편향이 거의 없었다.이 비교는 여러 표본 크기에서 Hozo et al.의 고정된 범위 기반 추정량이 갖는 한계를 보여준다.출처: Figure 1 · p. 7, Simulation study for C1 · p. 7
• 1000회 시뮬레이션에서 정규분포, 로그정규분포, 베타분포, 지수분포, 와이블분포에 걸쳐 두 방법을 비교했으며, 전체 표본의 표준편차를 기준으로 삼았다.표본 크기는 정규분포 자료에서 5부터 1001까지, 비정규분포 자료에서 5부터 101까지였다.출처: Simulation study for C1 · pp. 6–7
• 정규분포 자료에서 Hozo et al.의 범위 기반 추정량을 차례로 전환하는 기준값으로는 n = 15와 n = 70이 거의 최적이었다.range/4와 range/6 추정량의 상대오차는 각각 n = 20과 30 사이, n = 400과 500 사이에서 0을 통과했다. 이 지점들은 ξ(27) ≈ 4 및 n ≈ 463에서의 ξ(n) ≈ 6과 일치했다.출처: Simulation study for C1 · p. 7, Figure 1 · p. 7
• 비대칭 자료에서는 새 방법에도 약 5%의 상대오차가 남았지만, 여전히 Hozo et al.의 방법보다 우수했다.베타분포와 와이블분포에서 range/4에서 range/6으로 전환하는 최적 기준값은 70을 초과했다. Hozo et al. 은 베타분포에 n = 100, 와이블분포에 n = 110을 제안했다.출처: Simulation study for C1 · p. 7

• 제안한 방법은 σ = 1인 비대칭성이 큰 로그정규 자료에서도 대부분의 표본 크기에서 10% 미만의 상대오차를 보였다.출처: Simulation study for C2 · p. 7
• 이 모의실험에서 Bland의 공식이 만족스러운 성능을 보인 표본 크기는 약 20–40개였다.적용 가능한 표본 크기의 범위가 좁다는 점은 에서도 보고되었다.출처: Simulation study for C2 · p. 7
• 모의실험에서는 다섯 수 요약을 이용하는 식 (13)과 (11)을 비교하고, 실제 표본 표준편차에 대한 평균 상대오차로 정확도를 평가했다.각 설정에서 Q를 1부터 50까지 변화시키며 n = 4Q + 1로 1000회 시뮬레이션을 수행했고, 최솟값, 제일사분위수, 중앙값, 제삼사분위수, 최댓값으로 추정했다. 분포는 평균 µ = 5, 표준편차 σ = 1인 정규분포와 위치 µ = 5, 척도 σ = 0.25, 0.5 또는 1인 로그정규분포를 사용했다.출처: Simulation study for C2 · p. 7
• 제안한 방법은 대부분의 조건에서 Bland의 방법보다 우수했으며, 실제 표본 표준편차에 대해 편향이 거의 없는 추정치를 제공했다.Bland의 방법은 표본이 크거나 분포의 비대칭성이 클 때 표준편차를 과대추정했고, 표본이 매우 작을 때는 크게 과소추정했다.출처: Simulation study for C2 · pp. 7–8

결론

• 제안한 추정량은 기존 방법을 개선하며, 특히 사분위범위 정보가 있을 때 Bland의 표준편차 추정량보다 나은 성능을 보인다.Bland의 추정량은 표본 크기를 무시하여 큰 표본에서는 표준편차를 크게 과대추정하고 작은 표본에서는 과소추정한다. 제안한 방법은 두 통합량을 통해 표본 크기를 반영하며, 추가 계산 비용은 미미하다.출처: Figure 3 · p. 9, Conclusions · pp. 11–13

C3 시뮬레이션 연구

• 1000회 시뮬레이션에서 다섯 가지 분포를 사용하여 C1, C2, C3의 평균 및 표준편차 추정치의 평균 상대오차를 비교했다.표본은 정규분포, 로그정규분포, 베타분포, 지수분포, 와이블분포를 따랐으며, n = 4Q + 1이고 Q는 1부터 50까지였다. 전체 표본의 통계량을 기준값으로 사용했다. 정확도와 보고 시 선호되는 방식을 평가하기 위해 평균 공식 (3), (10), (14)와 표준편차 공식 (9), (13), (15)를 비교했다.출처: Simulation study for C3 · pp. 8–9
• 정규분포 자료에서 표준편차의 상대오차는 대체로 1% 이내로 작았고, 세 평균 추정량 모두 편향이 거의 없었으며, 안정성 측면에서 C3가 권장된다.제일사분위수와 제삼사분위수는 최솟값과 최댓값보다 이상치에 덜 민감하므로, C3는 C1과 극단값에 부분적으로 의존하는 C2보다 안정적이다.출처: Simulation study for C3 · p. 9, Figure 4 · p. 10

논의

• 정규성에 기반한 추정은 여전히 절충안이다. 제한된 요약통계량으로는 왜도를 신뢰성 있게 추정하기 어렵고, 평균과 표준편차가 비대칭성이 큰 자료를 충분히 설명하지 못할 수 있다.잘못 지정된 분포를 임의로 선택하면 정규성을 가정할 때보다 추정 결과가 나빠질 수 있다. 저자들은 비대칭성이 큰 자료를 메타분석에 포함할지 판단하는 데 도움이 되도록, 향후 대칭성 또는 정규성 사전검정을 제안한다.출처: Discussion · p. 10

C3 시뮬레이션 연구

• 임상 보고에는 C2가 권장된다. 평균 추정치는 C1보다 우수하지만 C3보다 일관되게 우수하지는 않으며, 표준편차 추정치는 절충안을 제공한다.비정규분포 자료에서는 신뢰하기 어려운 극단값이 C2의 성능을 저하시킬 수 있다. C3의 평균 추정치는 표본 크기에 둔감하지만 표준편차 추정치는 왜도에 민감하며, 표본 크기가 매우 작을 때의 표준편차를 제외하면 C1과 C3는 서로 반대 방향의 편향을 보인다. 다섯 수치 요약이 모두 없을 때 저자들은 작은 표본(예: n ≤30)에는 C1을, 큰 표본에는 C3를 권장한다.출처: Simulation study for C3 · pp. 9–10, Figure 5 · p. 11, Figure 6 · p. 12

결론

• 표본 크기에 따른 척도 조정이 Hozo et al.의 고정 임계값을 대체하며, 자료가 비음수라는 가정을 제거하여 적용 범위를 넓힌다.표본 크기가 증가할수록 범위가 발산하므로, 유계가 아닌 분포에서는 n >70에 적용하는 Hozo et al.의 (b −a)/6 규칙이 성립하지 않는다. 제안한 추정량은 임계값 12, 4, 6을 더 안정적이고 적응적인 하나의 통합량으로 대체한다.출처: Conclusions · pp. 11–12
• 최솟값과 최댓값이 없을 때 Hozo et al.과 Bland의 방법을 확장하면 유계가 아닌 추정량이 도출되는 반면, 제안한 접근법은 타당한 추정량을 제공한다.이 논문은 C1, C2, C3를 연구하지만, 이 접근법은 추가 분위수를 포함하거나 중앙값 없이 최솟값, 사분위수, 최댓값을 사용하는 경우 등 다른 요약통계량 조합으로도 확장할 수 있다.출처: Conclusions · p. 13

추가 파일

• 추가 파일에는 시뮬레이션에 사용한 분포의 그래프와 추정 공식을 구현한 Excel 스프레드시트가 제공된다.사용자는 해당 시나리오에 맞게 표본 크기와 이용 가능한 중앙값, 극단값 또는 사분위수를 입력한다. 스프레드시트에는 비교를 위해 Hozo et al.과 Bland의 방법도 포함되어 있다.출처: Discussion · pp. 10–11, Additional files · p. 13