Continuous-Variable Quantum Key Distribution with Gaussian Modulation -- The Theory of Practical Implementations

Fabian Laudenbach; Christoph Pacher; Chi-Hang Fred Fung; Andreas Poppe; Momtchil Peev; Bernhard Schrenk; Michael Hentschel; Philip Walther; Hannes Hübel

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Continuous-Variable Quantum Key Distribution with Gaussian Modulation -- The Theory of Practical Implementations

Fabian Laudenbach, Christoph Pacher, Chi-Hang Fred Fung, Andreas Poppe, Momtchil Peev, Bernhard Schrenk, Michael Hentschel, Philip Walther, Hannes Hübel

arXiv:1703.09278v32017년 3월 27일quant-ph

TL;DR

실용적인 CV-QKD 보안 분석은 다양한 가정과 하드웨어 불완전성 때문에 복잡하다. 이 논문은 이론을 교육적으로 유도하고, 공격과 파라미터 추정을 분석하며, 실용적인 노이즈 모델을 개발해 초과 노이즈가 낮을수록 손실 내성과 전송 거리가 향상됨을 보인다.

문제
CV-QKD 구현은 성능이 다양한 가정과 여러 실험적 노이즈 원천에 좌우되기 때문에 어려운 보안 분석에 직면한다.
방법
이 논문은 자기완결적인 이론적 처리를 전개하고, 보안 관계를 유도하며, 공격과 파라미터 추정 및 실험적으로 중요한 노이즈를 분석한다.
결과
낮은 초과 노이즈는 더 큰 손실 내성을 가능하게 하며, 따라서 CV-QKD에서 더 긴 전송 거리를 가능하게 한다.
핵심 요점 및 한계
CV-QKD 설정의 성능은 주로 transmittance, excess noise, reconciliation efficiency로 특성화된다.
핵심 요점 및 한계
최근의 실용적 블록 크기 증명을 제외하면, coherent attack에 대한 무조건적 보안은 무한히 길거나 비현실적으로 긴 키에 대해서만 확립되어 있다.

Abstract

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Quantum key distribution using weak coherent states and homodyne detection is a promising candidate for practical quantum-cryptographic implementations due to its compatibility with existing telecom equipment and high detection efficiencies. However, despite the actual simplicity of the protocol, the security analysis of this method is rather involved compared to discrete-variable QKD. In this article we review the theoretical foundations of continuous-variable quantum key distribution (CV-QKD) with Gaussian modulation and rederive the essential relations from scratch in a pedagogical way. The aim of this paper is to be as comprehensive and self-contained as possible in order to be well intelligible even for readers with little pre-knowledge on the subject. Although the present article is a theoretical discussion of CV-QKD, its focus lies on practical implementations, taking into account various kinds of hardware imperfections and suggesting practical methods to perform the security analysis subsequent to the key exchange. Apart from a review of well known results, this manuscript presents a set of new original noise models which are helpful to get an estimate of how well a given set of hardware will perform in practice.

1. 서론

이 튜토리얼은 Gaussian-modulated coherent-state CV-QKD를 소개하며, 실험적 구현을 다루는 동시에 그 protocol과 security의 기초를 유도한다. CV-QKD의 deployment 가능성, 연구 간 비교의 어려움, 그리고 상대적으로 덜 발전한 security proof를 바탕으로 이러한 초점을 정당화한다.

1. 서론: 이 튜토리얼은 사전 지식이 거의 없다고 가정하고 Gaussian modulation을 적용한 CV-QKD를 from scratch로 유도하며, protocol security와 experimental implementation을 다룬다.명시된 목표는 protocol과 도청에 대한 security를 상세하고 self-contained하게 개괄하는 것이다.
1. 서론: coherent state에 Gaussian modulation을 적용한 CV-QKD는 널리 사용되는 응용 분야에 deployment하기에 유망한 후보로 제시된다.
1. 서론: QKD는 직교하지 않는 quantum state를 전송하여 공유 secret key를 생성하며, man-in-the-middle attack을 방지하려면 authenticated classical communication이 필요하다.엄밀히 말하면, authentication을 사용하면 QKD는 key-growing protocol이 된다.
1. 서론: 많은 실험이 CV-QKD의 feasibility를 입증했지만 [23] [24], 서로 다른 설정과 가정 때문에 performance comparison은 어렵다.주어진 transmission distance에서의 secure-key rate가 주요 평가 기준으로 제시된다.
1. 서론: 기존 review가 있음에도, Gaussian-modulated coherent-state CV-QKD의 security proof는 discrete-variable QKD의 proof보다 여전히 덜 발전되어 있다.인용된 review는 GM CV-QKD와 protocol security를 개괄하지만, 상세한 계산은 제공하지 않는다.

2. 보안 개념과 보안 키율

이 절에서는 individual, collective, coherent attack을 구분한 뒤, non-asymptotic reconciliation 효과를 포함하면서 collective attack에서의 asymptotic secure-key rate로 논의를 제한한다. Alice–Bob mutual information, Eve의 Holevo information, practical implementation penalty를 통해 reverse-reconciliation secret fraction을 정의한다.

공격 모델: Coherent attack은 가장 일반적인 공격으로, 전역적으로 상관된 ancilla mode와 classical post-processing 이후의 collective measurement를 허용하는 반면, individual attack과 collective attack은 i.i.d. interaction을 가정한다.Individual attack에서는 저장된 ancilla를 독립적으로 측정하고, collective attack에서는 post-processing 이후까지 최적의 joint measurement를 미룬다.
관련 보안 증명: 보안 증명은 individual attack에서 collective attack으로 발전했으며, de Finetti reduction과 Gaussian-attack optimality를 통해 coherent attack에 대한 보안 논증이 가능해졌다 [40].고정된 covariance matrix에 대해서는 Gaussian attack이 이러한 논증에 사용되는 관련 optimality principle을 제공한다.
보안 범위: 보안은 asymptotic transmission 또는 finite transmission에 대해 분석할 수 있다. 이 튜토리얼에서는 non-asymptotic information-reconciliation 거동을 유지하면서 asymptotic collective-attack rate를 사용한다.Asymptotic limit은 유도하기 쉽고 대응하는 finite-size 결과의 상한을 제공하지만, 현실적인 finite system을 직접 설명하지는 않는다.
보안 키율: Asymptotic secret fraction은 I_AB에서 Eve의 Holevo information을 뺀 값으로 하한을 이루며, direct reconciliation에는 χ_EA를, reverse reconciliation에는 χ_EB를 사용한다.이 리뷰에서는 이후 분석을 reverse reconciliation으로 제한한다. 여기서는 Bob의 key는 수정하지 않고, Alice가 Bob의 data에 따라 자신의 key를 보정한다.
보안 키율: Practical reconciliation은 frame failure, Shannon limit 미만의 efficiency, covariance-matrix estimation을 위해 공개되는 symbol을 통해 secret fraction을 감소시킨다.FER은 frame-error rate이고, β는 reconciliation efficiency이며, ν는 공개되는 symbol fraction이다. χ_EB 자체가 upper bound이므로 결과 식은 lower bound이다.

3. Coherent-State Protocol의 기초

Coherent-state CV-QKD protocol은 Gaussian-modulated coherent state를 Gaussian channel을 통해 전송하고 homodyne 또는 heterodyne detection으로 측정한다. Classical post-processing에서는 channel parameter를 추정하고, 상관된 data를 reconciliation하며, 일치 여부를 확인하고, secure key를 추출한 뒤 communication을 인증한다.

Gaussian modulation: Alice는 두 quadrature를 독립적으로 Gaussian-modulates하여 modulation variance ˜Vmod를 갖는 displaced coherent state의 sequence를 준비한다.이 ensemble은 phase space에서 q와 p에 대해 independent, identically distributed인 zero-centered normal variable로 표현된다.
Gaussian modulation: 각 quadrature는 total variance V = Vmod + 1을 갖는다. modulation variance가 one shot-noise unit에 더해지기 때문이다.여기서 Vmod = 4˜Vmod이며, modulation이 없어도 unit shot-noise contribution은 유지된다.
Quantum transmission and detection: Alice는 각 coherent state를 Gaussian quantum channel을 통해 전송하고, Bob은 homodyne 또는 heterodyne detection을 사용해 한 개 또는 두 quadrature를 측정한다.Quantum transmission은 잠재적으로 insecure한 channel을 통해 수행되며, measurement result는 이후 classical processing에 사용된다.
Classical post-processing: Parameter estimation에서는 공개된 sample data를 사용해 transmission과 excess noise를 추정하고, IAB를 계산하며 χ를 bound하고, χ가 βIAB를 초과하면 abort한다.βIAB > χ이면 Alice와 Bob은 information reconciliation을 진행한다.
Classical post-processing: Information reconciliation은 direct 또는 reverse reconciliation을 사용하며, slice 또는 multidimensional scheme과 필요에 따라 LDPC code를 적용한 뒤 confirmation, privacy amplification, authentication을 수행한다.Confirmation은 universal-hash value를 비교하고, privacy amplification은 seeded randomness extractor를 적용하며, authentication은 man-in-the-middle attack으로부터 classical channel을 보호한다.

4. 전송률과 잡음

이 절에서는 신호 대 잡음비를 낮추고 도청자의 잠재적 우위를 키우는 전송률과 잡음을 통해 CV-QKD 성능을 특성화한다. 검출기 잡음을 포함한 독립적인 기여를 결합해 채널 출력 초과 잡음을 정의하고, 전체 전송률에 채널 손실, 검출 손실, 결합 손실을 반영한다.

시스템 특성화: 전송률과 잡음은 신호 대 잡음 성능을 저하하고 잠재적 도청자의 우위를 키우므로 주요 시스템 파라미터다.전송률에는 채널 전송, 검출 효율, 결합 손실이 포함된다.
잡음 구성: 변조, Raman 산란, 양자화, 위상, 검출기, 상대 강도, 공통 모드 제거에 따른 기여를 포함해 독립적인 초과 잡음원은 분산을 통해 합산된다.이 논문은 ξ = ξmodul + ξRaman + ξquant + ξphase + ξdet + ξRIN + ξCMRR + . . . .로 쓴다.
유효 전송률과 분산: 전체 전송률 T는 결합 효율과 함께 채널 손실 및 검출 손실을 결합하며, 검출 잡음은 채널 잡음과 결합할 때 채널 입력으로 환산된다.따라서 Bob이 측정한 분산은 전송된 신호 분산, 초과 잡음, 진공 잡음, 전자 잡음을 사용해 표현된다.
잡음 정의: 이 논문은 대부분의 CV-QKD 문헌과 달리 초과 잡음을 관측되는 위치, 즉 Bob의 실험실에 있는 채널 출력에서 정의한다.검출기 전자 잡음은 추가적인 분산 기여로서 초과 잡음 기술에 포함된다.
실용적 모델링: Section 9에서는 다양한 초과 잡음 구성 요소에 대한 해석적 모델을 도출한다.이 모델은 실제적인 하드웨어 구현의 성능을 추정하는 데 활용된다.

5. 공분산 행렬

공분산 행렬은 사분면 분산과 상관관계를 인코딩하며 CV-QKD에서 Holevo bound를 계산하는 데 필수적이다. 이 절에서는 PM 및 EB 기술, 전송과 검출에 따른 변환, 그리고 실용적 보안 분석을 유효하게 만드는 재스케일링을 전개한다.

공분산 행렬 형식론: 공분산 행렬은 대각 성분에 사분면 분산을, 비대각 성분에 상호 사분면 공분산을 나타내며, 보손 모드와 CV-QKD 보안을 분석하는 기반을 제공한다.공분산 행렬과 그 변환을 아는 것은 Holevo bound를 계산하는 데 필수적이다.
Prepare-and-measure 및 entanglement-based 기술: Gaussian-modulated coherent state를 사용하는 prepare-and-measure protocol은 two-mode squeezed vacuum을 사용하는 entanglement-based protocol과 동등하며, Alice가 한 모드를 측정하고 다른 모드를 Bob에게 보낸다.이 동등성 덕분에 entanglement-based 공분산 행렬에 기반한 간소화된 보안 분석이 가능하다.
공분산 행렬 변환: 공분산 기술에는 Gaussian 사분면 변조가 포함되며, 이 변조의 분산은 Alice의 변조 분산과 vacuum shot noise를 결합한다. 한편 전송과 잡음은 행렬을 변환한다.PSK와 QAM 같은 다른 alphabet은 서로 다른 공분산 행렬을 필요로 하며, 비대각 공분산 구조가 다르다.
검출 protocol: Homodyne detection은 무작위로 선택된 하나의 사분면을 측정하는 반면, heterodyne detection은 신호를 분할해 두 사분면을 동시에 측정한다. 후자는 공분산 행렬을 바꾸고 전송 및 excess noise에 factor of 1/2를 도입한다.이러한 변화에도 Bob의 측정 장치가 작동하기 전 공분산 행렬로부터 Holevo information을 도출할 수 있다.
Prepare-and-measure 및 entanglement-based 기술: Alice가 heterodyne outcome을 재스케일링하면 Bob이나 Eve가 알아차리지 못한 채 prepare-and-measure 시나리오를 모사할 수 있으며, 준비된 사분면을 역재스케일링하면 실용적 protocol을 entanglement-based protocol로 사상할 수 있다.이 변환은 보안 분석을 크게 단순화하며 Holevo bound와 parameter estimation을 결정하는 데 핵심적이다.

6. 신호 대 잡음비와 상호 정보량

이 절에서는 출력 신호 전력과 잡음 전력으로 채널의 신호 대 잡음비를 정의하고, 이를 전송률, 검출 방식, 초과 잡음과 연결한 뒤 Alice–Bob 상호 정보량을 유도한다. Heterodyne 검출은 상호 정보량 식을 두 배로 만드는 것처럼 보이지만 SNR을 대략 절반으로 줄이며, code rate와 오류 정정 효율이 실제 전송률을 결정한다.

신호 대 잡음비: SNR은 채널 출력에서 전체 신호 전력을 전체 잡음 전력으로 나눈 값으로 결정된다.신호 전력은 감쇠된 변조 분산이며, 진공 잡음과 초과 잡음이 전체 잡음에 기여한다.
신호 대 잡음비: 전체 전송률은 결합 효율과 검출 효율을 포함하며, μ는 homodyne 검출에서 1, heterodyne 검출에서 2와 같다.Bob의 사분면 분산과 신호/잡음 분해는 검출 방식 및 초과 잡음 ξ에 따라 달라진다.
상호 정보량: Heterodyne 검출은 상호 정보량을 log2(1 + SNR)/2에서 log2(1 + SNR)로 바꾸지만, 그 SNR은 대략 1/2배로 감소한다.Heterodyning beamsplitter가 초과 잡음 ξ도 절반으로 줄이므로 감소량은 정확히 절반은 아니다.
Code rate: Code rate는 정보 비트를 운반하는 raw bit의 비율이며, 오류 정정 효율 β는 상호 정보량 IAB에 대해 0 ≤ β < 1을 만족한다.이 절에서는 raw bit와 정보 비트에 필요한 에너지와 code rate의 관계를 설명하고, 비트당 에너지 관점에서 SNR을 다시 나타낸다.

7. Holevo 정보

Holevo bound χEB는 covariance matrix의 symplectic eigenvalue로 계산한 Eve의 무조건부 von Neumann entropy와 측정 조건부 von Neumann entropy의 차이로 결정된다. Purification 불변성 덕분에 공격과 무관한 계산이 가능하지만, trusted-device 가정은 Eve에게 귀속되는 noise를 줄일 수 있을 뿐 preparation noise를 trusted로 취급하는 것을 정당화하지는 않는다.

Holevo information: Reverse reconciliation에서 χEB는 Bob의 homodyne 또는 heterodyne measurement 전후 Eve의 von Neumann entropy로부터 구한다.이 entropy들은 해당 covariance matrix의 symplectic eigenvalue로 결정되며, 그 quantum state는 가정한 attack에 의존한다.
Purification 기반 계산: ρAB의 어떤 purification도 동일한 Eve entropy를 제공하므로 동일한 Holevo information χEB를 제공한다.이는 entropy가 unitary transformation에서 불변이고 ρAB와 Eve의 reduced state가 동일한 Schmidt coefficient를 공유하기 때문이다.
Entangling cloner attack: Entangling-cloner construction은 excess noise ξ를 갖는 lossy channel의 covariance matrix를 재현하며, Eve-state symplectic eigenvalue가 SE를 결정한다.이후 Bob이 homodyne 또는 heterodyne detection을 수행한 뒤 Eve의 covariance matrix로부터 conditional entropy를 구한다.
Attack-independent calculation: Purification method는 Eve가 attack을 구현하는 방식을 특정하지 않고 Alice와 Bob의 covariance matrix로부터 χEB를 계산한다.Unconditional entropy에는 joint covariance matrix를 사용하고, conditional entropy는 Bob이 homodyne detection을 사용하는지 heterodyne detection을 사용하는지에 따라 달라진다.
Trusted-device scenario: Trusted-device scenario에서는 detection 및 quantisation noise와 detection inefficiency가 Eve의 Holevo information에 기여하지 않을 수 있지만, preparation noise는 severe side-channel attacks 를 가능하게 하므로 여전히 제외된다.Trusted-device 가정은 channel-accessible imperfection만 Eve에게 귀속하며, Bob의 measurement result는 여전히 trusted receiver imperfection의 영향을 받는다.

8. 실용적 파라미터 추정

이 절에서는 true 또는 local local oscillator를 사용하는 CV-QKD의 실용적 파라미터 추정을 다루며, 전압을 shot-noise units로 변환하는 보정과 공분산 기반 보안 파라미터 추정을 강조한다. 이 절차를 통해 secret-key rate 추정에 필요한 SNR, mutual information, Holevo bound를 얻는다.

범위: 이 분석은 공동 전송되는 local oscillator에 대한 공격 을 배제하고 true 또는 local local-oscillator 구현의 channel parameter 추정에 초점을 둔다.Channel-parameter 추정은 QKD 보안 분석에 필수적인 것으로 식별된다.
Rate 추정: Mutual information IAB는 T와 ξ로부터 또는 Bob의 total 및 conditional variance로부터 계산할 수 있으며, SNR은 동일하게 추정된 measurement statistics로부터 얻어진다.Holevo bound는 covariance-matrix coefficient로 계산되며, IAB는 signal-to-noise ratio에 의해 유일하게 결정된다.
통계적 가정: Asymptotic 절차는 maximum-likelihood voltage-variance estimator를 사용하고 estimator에서의 편차를 무시하며, 상세한 finite-sample 추정을 위해 confidence-interval method를 참조한다.이 가정은 여기서 설명하는 asymptotic 분석에 적용된다.
보정: Bob은 signal input을 분리한 상태에서 vacuum을 측정하여 conversion factor φ를 실험적으로 보정한 뒤, 전압과 variance를 shot-noise units로 변환한다.변하는 파라미터를 추적하려면 key exchange 중 보정을 반복해야 하며, 그 결과 factor는 measurement setup과 local-oscillator power에 의존한다.
Covariance-matrix 추정: Alice와 Bob은 covariance matrix를 추정하기 위해 n개의 raw-key sample을 공개하고, 이로부터 channel transmittance T, excess noise ξ, Holevo bound χEB를 얻는다.공개된 sample은 secure-key generation에서 제외되며, prepare-and-measure protocol은 무작위로 분포된 coherent state를 사용한다.

9. 잡음 모델

이 절에서는 CV-QKD에서 실험적 불완전성으로 발생하는 초과 잡음을 검출기, 레이저, 양자화, 변조 및 관련 기여로 분해해 모델링한다. 각 모델은 하드웨어가 총 잡음과 예상 보안 키율에 미치는 영향을 추정하며, 단순화된 처리의 한계도 지적한다.

잡음 구성: 초과 잡음 ξ는 검출기, 상대 세기, 양자화, Raman 및 기타 하드웨어 기여로 구성되며, shot noise에 더해져 시스템 성능을 저하시킨다.분해식은 ξ = ξdet + ξRIN + ξquant + ξRam + … (9.1)이다.
잡음 구성: 제안한 수학적 모델은 레이저, 변조기, 검출기 및 아날로그-디지털 변환기가 총 잡음과 예상 보안 키율에 미치는 영향을 추정한다.이 모델은 실제 CV-QKD 구현을 위한 설계 지침으로 사용되며, Section 10의 하드웨어별 결론을 뒷받침한다.
상대 세기 잡음: 신호 레이저와 local-oscillator lasers에서 발생하는 상대 세기 잡음은 직교 성분 잡음으로 모델링하며, 출력 기준 초과 잡음은 전체 채널 투과율에 따라 스케일링된다.balanced detection에서는 local oscillator의 진폭에 따라 신호 직교 성분이 스케일링되므로, local oscillator가 추가 RIN 항을 기여한다.
변조 및 위상 잡음: Alice의 변조 전압 잡음은 DAC 또는 waveform generator, 증폭기 및 q/p-modulator를 거쳐 전파되며, 이를 통해 QPSK와 양자 신호 위상 잡음의 초과 잡음식을 도출한다.도출에서는 전압 편차에 대한 Taylor 전개를 사용하고, 최종 위상 잡음식을 ⟨n⟩ = Vmod/2와 연결한다.
변조 및 위상 잡음: 변조 분석에서는 DAC 양자화, q/p-modulator 위상 편차, electro-optic ripple 및 검출 응답 잡음을 제외하지만, 충분히 여유 있는 bound를 사용해 여러 변조기 방식을 포괄한다.적용된 위상이 π이면 일차 sin A 항이 사라져 λ의 이차 및 그보다 높은 차수에 대한 의존성만 남는다.

10. 실험적 함의 … B.4. Von Neumann entropy

이 논문은 CV-QKD의 실제 성능을 symbol rate, transmittance, excess noise, reconciliation, hardware 선택과 연결하고, 상태, 변환, 상관관계, entanglement, entropy를 모델링하기 위한 Gaussian-state 도구를 제시한다.

10. 실험적 함의: 실험적 함의: 최첨단 telecom hardware를 사용하면 약 10 Gbaud의 symbol rate가 가능하지만, symbol rate만 높여서는 달성 가능한 전송 거리를 늘릴 수 없다.더 높은 symbol rate는 key throughput을 높일 수 있지만, 전송 거리는 여전히 channel의 noise 및 loss 거동에 의해 제한된다.
10. 실험적 함의: 실험적 함의: Secure-key 성능은 주로 transmittance T, excess noise ξ, reconciliation efficiency에 의해 결정되며, modulation variance Vmod는 보안 요구사항에 맞게 조정할 수 있다.Secret fraction은 modulation variance, transmittance, excess noise, reconciliation efficiency에 의존하며, optical attenuation을 이용하면 setup에 맞게 Vmod를 조정할 수 있다.
10. 실험적 함의: 실험적 함의: 실제 구현의 병목에는 ADC quantisation, wavelength-multiplexed classical channel에서 발생하는 Raman crosstalk, 비효율적인 reconciliation software도 포함된다.ADC bit를 하나 추가하면 quantisation noise가 4배 감소하며, 이 예에서는 T = 0.1 및 ξ = 0.01 SNU에서 reconciliation efficiency가 0.96을 초과해야 한다.
10. 실험적 함의: 실험적 함의: 예시 setup에서는 detection noise가 지배적인 성분이며, trusted versus untrusted receiver 가정에 따라 detector NEP 요구사항이 크게 달라진다.엄격한 가정에서는 non-zero key를 위해 낮은 NEP가 중요하지만, trusted detector를 사용하면 NEP 요구사항이 완화되고 saturation limit을 넘지 않는 범위에서 더 높은 local-oscillator power로 detection noise를 줄일 수 있다.
A. Coherent States의 사전 조건: A. Coherent States의 사전 조건: Coherent states는 α의 실수부와 허수부를 통해 quadrature amplitude를 나타내며, 동일한 minimal quadrature uncertainty를 갖고 ⟨n̂⟩ = |α|^2 = q^2 + p^2를 만족한다.shot-noise unit에서 coherent-state uncertainty는 Gaussian-modulated CV-QKD에 사용되는 기준 variance를 정한다.
B.1. Displacement Vector 및 Covariance Matrix: B.1. Displacement Vector 및 Covariance Matrix: N-mode Gaussian state는 variance와 상호 correlation을 담는 2N차원 quadrature displacement vector와 covariance matrix로 표현된다.두 mode 사이의 cross term이 사라지면 해당 quadrature들이 uncorrelated이고 mode들이 separable임을 의미한다.
B.2. Symplectic Operations: B.2. Symplectic Operations: Gaussian-state transformation은 symplectic matrix로 표현되며, beamsplitter가 이 논문에서 사용하는 주요 operation이다.Symplectic operator는 Gaussian-information formalism에서 Hilbert-space의 unitary operation에 대응한다.
B.3. Composite States / B.4. Von Neumann entropy: B.3. Composite States와 B.4. Von Neumann entropy: Composite Gaussian states는 subsystem displacement vector와 covariance matrix를 결합하며, entanglement는 영이 아닌 off-diagonal covariance block을 통해 나타나고 entropy는 symplectic eigenvalues로 계산된다.2N × 2N covariance matrix에는 N개의 symplectic eigenvalues가 있으며, 이 값들이 Gaussian state의 von Neumann entropy를 결정한다.

B.5. 부분 측정

부분 측정은 측정된 모드와의 상관관계에 따라 측정되지 않은 모드의 covariance matrix를 갱신한다. Homodyne과 heterodyne detection은 서로 다른 조건부 갱신을 생성하며, heterodyne의 추가 shot noise는 balanced beamsplitter에 진공이 유입되면서 발생한다.

부분 측정: Gaussian state의 covariance matrix는 측정되지 않은 모드, 측정된 모드, 그리고 사후 측정 covariance를 결정하는 이들 사이의 cross-correlations로 분할할 수 있다.측정된 모드는 B, 나머지 모드는 A, 이들의 상관관계는 C로 나타낸다.
부분 측정: Homodyne detection은 측정된 quadrature가 q인지 p인지에 따라 나머지 모드를 서로 다르게 갱신한다.해당 projectors는 하나의 quadrature를 선택하며, Πq = diag(1, 0), Πp = diag(0, 1)이다.
부분 측정: Homodyne conditioning에 필요한 pseudoinverse는 projected covariance matrix가 diagonal일 때 elementwise inversion으로 단순화된다.Diagonal matrix의 경우 pseudoinverse는 대각 원소를 역수화하여 얻는다.
부분 측정: Heterodyne detection은 두 quadrature를 모두 갱신하고 beamsplitter의 vacuum input에서 비롯된 shot noise에 해당하는 unit-matrix contribution을 추가한다.Heterodyne transformation은 balanced beamsplitter에서 측정된 모드를 분할한 뒤 successive homodyne measurements를 적용하여 유도할 수 있다.
부분 측정: 측정된 coherent mode의 q- 및 p-quadrature variance가 같으면 heterodyne conditional covariance는 그에 따라 단순화된다.단순화 조건은 V(q_B) = V(p_B) = V_B이다.

C. 공분산 행렬 유도 … C.1.4. Σ14, Σ41, Σ32, Σ23

이 논문은 ladder-operator 표현에서 quadrature 기대값을 계산해 two-mode squeezed vacuum state의 초기 4×4 covariance matrix를 유도한다. 성분별 계산을 통해 여러 subsection에 제시된 대각 variance와 소거되는 비대각 항을 확립한다.

C. 공분산 행렬 유도: 유도 과정에서는 필요한 기대값을 계산하기 위해 Fock 상태의 직교성과 사분면의 사다리 연산자 표현을 사용한다.이 관계들은 공분산 성분에 필요한 사분면의 평균과 곱을 계산하는 데 뒷받침이 된다.
C. 공분산 행렬 유도: two-mode squeezed vacuum state의 공분산 행렬 Σ는 4×4이며, 16개 성분을 각각 유도한다.상태는 ket 표기법 으로 나타내며, 행렬 성분을 계산하기 전에 기대값과 정규화를 확인한다.
C.1.1. Σ11, Σ22, Σ33, Σ44: 대각 성분은 사분면 분산으로부터 얻으며, 연산자 기대값과 그 제곱으로 표현된다.사분면 연산자 q_A, p_A, q_B, p_B는 생성 연산자와 소멸 연산자를 사용해 다시 표현한다.
C.1.1. Σ11, Σ22, Σ33, Σ44: 관련 급수를 계산한 뒤 유사한 대각 분산 결과를 완성하면 Σ22 = Σ33 = Σ44 = V이다.유도 과정에서는 q = (V −1)/(V +1)과 등비급수 정규화 관계를 사용한다.
C.1.2. Σ12, Σ21, Σ34, Σ43: 동일 모드 내 공분산 성분은 사분면 연산자의 대칭화된 곱으로 계산하며, 유사한 결과로 Σ34 = Σ43 = 0을 얻는다.기대값은 다시 사분면을 생성 연산자와 소멸 연산자로 나타내어 계산한다.
C.1.4. Σ14, Σ41, Σ32, Σ23: 나머지 공분산 성분은 Σ32 = Σ23 = 0을 만족한다.이로써 초기 공분산 행렬에 대한 제시된 성분별 유도가 완성된다.

C.1.5. 최종 Σ · C.2. 채널 전송

이 절에서는 앞서 유도한 구성요소를 2-mode squeezed vacuum state의 최종 covariance matrix로 모으고, beamsplitter와 vacuum input을 사용한 손실 채널을 통해 Bob의 mode가 전송되는 과정을 모델링한다.

C.1.5. 최종 Σ: 앞서 도출한 구성요소를 TMSVS의 최종 covariance-matrix expression으로 모은다.
C.2. 채널 전송: 손실 변환을 적용하기 전에 TMSVS covariance matrix를 다시 써서 채널 전송을 분석한다.
C.2. 채널 전송: 손실은 transmittance T를 갖는 beamsplitter로 모델링하며, 추가 vacuum mode가 beamsplitter의 vacuum input을 반영한다.
C.2. 채널 전송: vacuum mode는 2 × 2 unit matrix를 사용한 직접 합산으로 전체 covariance matrix에 포함한다.
C.2. 채널 전송: beamsplitter를 symplectically 표현하고, Alice의 mode에 작용하는 항을 포함해 covariance-matrix dimensions로 확장한다.
C.2. 채널 전송: 그 결과의 symplectic transformation은 Alice의 mode를 변경하지 않은 채 Bob의 mode와 vacuum input에 작용한다.
C.2. 채널 전송: symplectic operator S 아래에서 Gaussian covariance matrix는 post-transmission state로 변환되며, transmitted covariance matrix를 얻는다.

C.3. 초과 잡음을 포함한 채널 전송 · C.4. Bob의 헤테로다이닝 · D. 양자 호모다인 검출

병합된 절에서는 채널 초과 잡음을 모델링하고, Bob의 헤테로다인 변환을 유도하며, local oscillator와 balanced beamsplitter의 간섭을 통한 양자 호모다인 검출을 설명한다.

C.3. 초과 잡음을 포함한 채널 전송: 채널 beamsplitter의 vacuum 입력을 quadrature의 variance가 N인 noisy 입력으로 대체하여 채널 초과 잡음을 모델링한다.그 결과의 covariance-matrix 처리는 Bob의 출력 variance와 최종 covariance-matrix 형식으로 이어진다.
C.3. 초과 잡음을 포함한 채널 전송: 초과 잡음 유도에서는 two-mode squeezed vacuum과 noisy 입력의 joint covariance matrix에 beamsplitter 변환을 적용한다.이 구성에 이어 Bob의 quadrature variance와 최종 covariance matrix에 대한 식이 제시된다.
C.3. 초과 잡음을 포함한 채널 전송: 잡음 parameter는 TV + (1 −T)N = T(V −1) + 1 + ξ로 정의되며, noisy-input 모델과 초과 잡음 ξ를 연결한다.이 관계는 채널 입력 variance, transmission, noise variance, 초과 잡음이 어떻게 연결되는지 규정한다.
C.4. Bob의 헤테로다이닝: Bob은 balanced beamsplitter를 삽입해 자신의 mode를 분할하고 추가 vacuum mode를 도입함으로써 both quadratures simultaneously 측정한다.이 beamsplitter는 Alice의 mode가 아니라 Bob의 mode와 vacuum mode에 작용한다.
C.4. Bob의 헤테로다이닝: 헤테로다인 변환은 Bob의 signal과 additional vacuum input을 포함하는 전체 state에 balanced-beamsplitter operator를 적용하는 것으로 나타낸다.제시된 유도에서는 그 결과로 얻어지는 변환된 quadrature 구조를 기록한다.
D. 양자 호모다인 검출: 양자 호모다인 검출은 coherent-state quadrature operator와 classical local oscillator가 balanced beamsplitter로 들어가는 과정에서 시작한다.유도는 를 따르는 방향으로 제시된다.
D. 양자 호모다인 검출: 두 출력 photon-number operator를 빼면 그 값이 local-oscillator phase θ에 의존하는 number-difference operator가 얻어진다.coherent-state와 local-oscillator 식을 대입하면, phase에 의존하는 차이가 quadrature operator에 비례함을 보인다.

E. q/p-Modulator의 원리 · F. SI·Natural·Shot-Noise 단위

E절에서는 coherent-state 출력을 분할하고, 위상을 변조하고, 재결합한 뒤 선택하는 nested-MZI q/p-modulator를 설명한다. F절에서는 quadrature convention이 operator 관계를 결정한다는 점을 설명하고 shot-noise, natural, SI 단위를 비교한다.

E. q/p-Modulator의 원리: q/p-modulator는 각 arm에 nested MZI가 배치된 double Mach–Zehnder interferometer를 사용해 입력 coherent state와 vacuum을 처리한다.도식은 이 architecture의 가능한 구현으로 제시된다.
E. q/p-Modulator의 원리: coherent state α와 vacuum은 먼저 balanced beamsplitter에 입력되며, 그 출력이 outer MZI의 두 arm을 이룬다.이후 각 outer-MZI arm은 또 다른 balanced beamsplitter에서 vacuum과 혼합된다.
E. q/p-Modulator의 원리: Balanced beamsplitter가 inner-MZI arm을 재결합한 뒤, 구성은 각 beamsplitter에서 하나의 output port만 남긴다.제외된 성분은 남은 state vector에 포함되지 않는다.
E. q/p-Modulator의 원리: 두 inner MZI는 전압으로 유도된 electro-optic 굴절률 변화에 의해 생성되는 opposite phase rotations +ϕ1/−ϕ1 및 +ϕ2/−ϕ2를 적용한다.phase rotation은 인가 전압에 비례한다.
E. q/p-Modulator의 원리: 두 outer arm을 재결합하기 전에 두 번째 outer-MZI arm에 π/2 phase를 더하고, 최종 beamsplitter 출력 하나를 선택한다.이 순서로 최종적으로 남는 state가 생성된다.
F. SI·Natural·Shot-Noise 단위: Coherent state는 annihilation 및 creation operator로 나타낼 수 있지만, ladder operator에 대한 q̂ 및 p̂의 정의는 표기상의 선택으로 남는다.이 선택에 따라 대응하는 commutator, photon-number operator, minimal uncertainty-product 표현이 달라진다.
F. SI·Natural·Shot-Noise 단위: Table F.1은 관련 물리량을 표현하는 대안적 convention으로서 shot-noise units, natural units, SI units를 비교한다.제공된 문단은 비교 범위만 밝히며 표의 개별 값은 제시하지 않는다.