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Continuous-Variable Quantum Key Distribution with Gaussian Modulation -- The Theory of Practical Implementations

Fabian Laudenbach, Christoph Pacher, Chi-Hang Fred Fung, Andreas Poppe, Momtchil Peev, Bernhard Schrenk, Michael Hentschel, Philip Walther, Hannes Hübel

arXiv:1703.09278v3quant-ph

TL;DR

Gaussian 변조 coherent states를 사용하는 실용적 CV-QKD는 유망하지만 비교적 복잡한 security analysis가 필요하다. 이 논문은 이론적 토대를 재도출하고 hardware와 연계된 noise model을 개발하며, asymptotic security와 practical implementation의 영향을 중점적으로 다룬다. 제시된 model은 transmittance, excess noise, reconciliation efficiency, hardware 선택이 secure-key 성능에 미치는 영향을 추정할 수 있게 한다.

  • 문제

    CV-QKD security analysis는 protocol 자체보다 복잡하며, practical implementation에서는 hardware imperfection과 security assumption을 고려해야 한다.

    출처: §1 · p. 5

  • 방법

    이 논문은 CV-QKD 관계식을 교육적으로 재도출하고, covariance 기반 Eve-information 계산을 포함해 hardware specification과 연계된 analytical noise model을 개발한다.

    출처: §1 · p. 5, §7 · p. 20, §7.2 · p. 24

  • 결과

    이 model은 transmittance, excess noise, reconciliation efficiency, modulation variance, hardware-dependent noise effect를 통해 secure-key 성능을 특성화한다.

    출처: §10 · pp. 46–47

  • 시사점 및 한계

    이 framework는 implementation 성능을 추정하고 예상 secure-key rate에 영향을 미치는 hardware 선택을 식별하기 위한 practical guidance를 제공한다.

    출처: §10 · p. 47

    주요 security analysis는 asymptotically long key와 collective attack으로 제한되지만, finite-key effect를 다루려면 확장이 필요하다.

    출처: §1 · p. 5, §7.3 · p. 26

Abstract

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Quantum key distribution using weak coherent states and homodyne detection is a promising candidate for practical quantum-cryptographic implementations due to its compatibility with existing telecom equipment and high detection efficiencies. However, despite the actual simplicity of the protocol, the security analysis of this method is rather involved compared to discrete-variable QKD. In this article we review the theoretical foundations of continuous-variable quantum key distribution (CV-QKD) with Gaussian modulation and rederive the essential relations from scratch in a pedagogical way. The aim of this paper is to be as comprehensive and self-contained as possible in order to be well intelligible even for readers with little pre-knowledge on the subject. Although the present article is a theoretical discussion of CV-QKD, its focus lies on practical implementations, taking into account various kinds of hardware imperfections and suggesting practical methods to perform the security analysis subsequent to the key exchange. Apart from a review of well known results, this manuscript presents a set of new original noise models which are helpful to get an estimate of how well a given set of hardware will perform in practice.

1. 서론

이 논문은 Gaussian modulation coherent-state CV-QKD를 프로토콜 자체보다 보안 분석이 더 복잡하지만 실용적인 대안으로 제시한다. 또한 교육적 검토와 hardware 중심 noise models, 실용적 보안 고려사항을 결합한다.

1. 서론

  • 이 튜토리얼은 CV-QKD 보안 관계를 처음부터 유도하고, quantum-information formalism과 hardware datasheets를 연결하는 analytical noise models를 전개한다.이 models는 실용적인 구현 선택을 대상으로 하며 초심자와 실험 연구자를 위한 것이다.출처: §1 · pp. 5–6
  • coherent states를 이용한 CV-QKD는 효율적이고 높은 key rate를 제공하는 비용 효율적인 homodyne detection을 구현하면서 squeezed-light generation을 피할 수 있다.이 논문은 homodyne receivers와 single-photon counters를 비교하고, coherent-state protocols와 squeezed-state protocols를 대조한다.출처: §1 · p. 5
  • 실험적으로 보고된 secure-key-rate를 비교하기는 어렵다. 각 시연이 attacks, reconciliation, finite-key effects, trusted noise, modulation security, side channels에 대해 서로 다른 assumptions를 사용하기 때문이다.장거리 시연에서는 local oscillator를 quantum channel을 통해 전송했으며, 이로 인해 security loopholes가 발생했다. 최근 연구에서는 locally generated oscillators를 사용한다.출처: §1 · p. 5
  • 이 논문은 보안 분석을 infinitely long keys로 제한하지만, 유도된 formalism은 적절한 확장을 통해 finite-key effects에도 적용할 수 있다.coherent-state Gaussian-modulated CV-QKD의 finite-key security는 아직 충분히 발전하지 않았으며 현재도 활발히 개발 중인 것으로 설명된다.출처: §1 · p. 5
  • 구현상의 imperfection이 핵심적인 이유는 보고된 QKD attacks가 이론적 model에서 벗어난 편차를 표적으로 삼았기 때문이다.이에 따라 이 논문은 realistic hardware와 noise modeling을 중점적으로 다룬다.출처: §1 · pp. 5–6

2. 보안 개념과 secure-key rate

이 절에서는 CV-QKD에 사용되는 공격자 모델과 점근적 보안 설정을 정의한다. 이어 Alice–Bob 정보, Eve의 bound, post-processing 불완전성으로부터 실용적인 reverse-reconciliation secret fraction을 정식화한다.

2. 보안 개념과 secure-key rate

  • Eve의 공격 모델은 i.i.d. individual attacks부터 지연된 joint measurement를 수행하는 collective attacks, 그리고 i.i.d. 가정이 없는 완전히 일반적인 coherent attacks까지 포괄한다.coherent model에서는 전역적으로 상관된 ancilla와 classical post-processing 이후의 collective measurement를 허용한다.출처: §2 · p. 7
  • coherent attacks에 대한 보안은 de Finetti methods와 Gaussian-attack optimality를 이용한 covariance-matrix analyses로 환원되었지만, finite-block 보안은 여전히 어렵다 [40, 41, 42, 43, 44, 15, 45, 46, 47, 48, 49].이후 Gaussian de Finetti 결과는 초기 finite-size approaches의 한계를 다룬 것으로 보고되었다.출처: §2 · p. 7

2.1. collective attacks에 대한 점근적 보안

  • 이 tutorial은 주요 secure-key-rate analysis에서 collective attacks와 점근적으로 긴 키를 가정한다.이 선택은 유도를 단순화하며, 점근적 rate는 대응하는 non-asymptotic 결과의 upper bound를 제공한다.출처: §2.1 · p. 7, §2 · p. 7
  • 점근적 secret fraction은 Devetak–Winter framework에 따라 mutual information IAB에서 Eve의 Holevo information χ를 뺀 값으로 주어지며, reverse reconciliation에서는 χEB를 사용한다.이 논문은 reverse reconciliation 하의 Gaussian-modulated coherent-state CV-QKD에 대해 IAB와 χEB를 유도한다.출처: §2.1 · p. 8
  • 실용적인 reconciliation은 reconciliation efficiency β, frame-error rate FER, covariance-matrix estimation에 사용되는 공개 fraction ν를 통해 secret fraction을 수정한다.χEB가 Eve의 정보에 대한 upper bound이므로, 그 결과식은 lower bound다.출처: §2.1 · p. 8

3. Coherent-State Protocol의 기초

이 protocol은 Gaussian-modulated coherent state를 준비하고, 이를 Gaussian channel을 통해 전송한 뒤, classical post-processing 전에 quadrature를 측정한다. Parameter estimation, reconciliation, confirmation, privacy amplification, authentication을 통해 이 데이터를 secure key로 변환한다.

3.1. Gaussian Modulation

  • Alice는 independent Gaussian quadrature q와 p를 sampling하여 displaced coherent state를 준비하며, 이 ensemble variance는 modulation variance에 one shot-noise unit을 더한 값과 같다.그 관계는 V(q)=V(p)=Vmod+1이며, Vmod=4˜Vmod이고 inherent variance V0=1이다.출처: §3.1 · p. 9, Figure 3.1 · p. 10

3. Coherent-State Protocol의 기초

  • Bob은 Gaussian quantum channel을 통해 각 coherent state를 수신하고, homodyne 또는 heterodyne detection을 사용하여 한 개 또는 두 개의 quadrature를 측정한다.protocol의 quantum transmission 뒤에는 classical processing이 이어진다.출처: §3 · p. 9, §3.1 · p. 10

3.2. Classical Post-Processing

  • Alice와 Bob은 random data subset을 공개하여 transmittance와 excess noise를 estimate한 다음, IAB를 계산하고 Eve의 information에 bound를 설정한 뒤 abort 여부를 결정한다.protocol은 βIAB가 bound χ를 초과할 때만 진행된다.출처: §3.2 · pp. 10–11
  • Reverse reconciliation은 Alice가 자신의 data를 Bob의 data에 맞게 correct하도록 하여 forward reconciliation의 3 dB loss limit을 극복하지만, low transmission에서는 excess noise가 점점 더 critical해진다.이 paper는 명시된 가정 아래 reverse reconciliation이 모든 total transmission T에 대해 IAB greater than χ를 유지할 수 있다고 설명한다.출처: §3.2 · p. 11
  • Information reconciliation은 slice 또는 multidimensional reconciliation과 같은 error-correction scheme을 사용하며, high-loss regime을 위해 MET LDPC codes를 포함한 LDPC codes를 사용한다.Confirmation에는 universal hashing을 사용하고, privacy amplification에는 seeded extraction을 사용하며, authenticated classical communication은 man-in-the-middle attack을 방지한다.출처: §3.2 · p. 11

4. 투과율과 잡음

이 논문은 투과율과 잡음을 구분하고, 초과 잡음을 하드웨어와 채널에서 독립적으로 발생하는 기여분의 총합으로 정의한다. 측정 위치에 대한 규약은 실제 구현 성능을 추정하는 분석 모델을 뒷받침한다.

4. 투과율과 잡음

  • CV-QKD 성능은 주로 투과율 T와 잡음으로 특성화되며, 이들은 신호 대 잡음비를 낮추고 잠재적 도청자의 우위를 높인다.논문은 전송과 잡음을 하나의 매개변수로 결합하지 않고 채널 잡음과 검출 잡음을 구분한다.출처: §4 · p. 12
  • 논문은 초과 잡음을 관측되는 위치, 즉 Bob의 실험실에 있는 채널 출력에서 정의하고 전자 잡음을 그 양에 포함한다.이는 초과 잡음을 채널 입력에서 정의하는 규약과 다르다.출처: §4 · pp. 12–13
  • 실제적인 투과율에는 채널 손실, 검출 손실, 결합 효율이 포함되며, Bob이 측정한 분산은 전송된 신호 분산, 초과 잡음, 진공 잡음, 전자 잡음이 결합된 값이다.이 규약은 하드웨어 기여분을 해당 관측 지점에 연결해 둔다.출처: §4 · pp. 12–13
  • 초과 잡음은 변조, Raman 산란, 양자화, 위상 변동, 검출, 상대 세기 잡음, 동상 제거에서 비롯되는 독립적 기여분의 합으로 모델링된다.이러한 가법적 분해는 잡음원들의 확률적 독립성으로 정당화된다.출처: §4 · pp. 12–13
  • 초과 잡음 성분에 대한 분석 모델은 하드웨어 선택이 총 잡음과 예상 보안 키율에 미치는 영향을 추정한다.이 모델은 레이저, 변조기, 검출기, 아날로그-디지털 변환기의 설계 선택을 안내하기 위한 것이다.출처: §4 · p. 13

5. 공분산 행렬

공분산 행렬 형식은 직교 성분의 분산과 상관관계를 나타내므로, Gaussian-modulated CV-QKD를 분석하고 Eve의 Holevo 정보를 계산할 수 있게 한다. 이 절에서는 homodyne 및 heterodyne 측정의 관계를 설명하고 prepare-and-measure와 entanglement-based 기술이 동등함을 확립한다.

5. 공분산 행렬

  • 공분산 행렬은 대각 성분에 직교 성분의 분산을, 비대각 성분에 상호 공분산을 담으며, Holevo 정보를 계산하는 데 매우 중요하다.출처: §5 · p. 14
  • 변위된 coherent state를 사용하는 prepare-and-measure protocol은 two-mode squeezed vacuum state를 사용하는 entanglement-based protocol과 동등하다.Entanglement-based 기술에서는 한 mode의 두 직교 성분을 모두 측정하고 다른 mode를 Bob에게 보낸다.출처: §5 · p. 14, §5.2 · p. 16

5.1. Homodyne 및 Heterodyne Detection

  • Homodyne detection은 한 번에 하나의 직교 성분을 측정하는 반면, heterodyne detection은 신호를 분할하고 q와 p를 동시에 측정한다.Homodyne은 무작위로 선택한 local-oscillator phase를 사용하고, heterodyne은 balanced beamsplitter 뒤에 두 번의 homodyne 측정을 사용한다.출처: §5.1 · p. 15, Figure 5.1 · p. 16
  • Heterodyne detection은 symbol당 mutual information을 두 배로 늘리지만, beamsplitter로 인해 추가적인 3 dB 손실을 도입한다.그 공분산 행렬은 transmission과 excess noise에 1/2 인자를 적용한 homodyne 경우와 동등하며, Holevo 정보는 Bob의 측정 장치 앞에서 유도할 수 있다.출처: §5.1 · p. 15

5.2. Prepare-and-Measure 대 Entanglement-Based Protocol

  • Alice의 prepare-and-measure 데이터는 더 간단한 security analysis에서 사용하는 entanglement-based 공분산 행렬을 얻기 위해 재스케일링해야 한다.이 재스케일링은 Holevo bound를 결정하는 데 핵심적이며 parameter estimation에 포함해야 한다.출처: §5.2 · pp. 17–18

6. Signal-to-Noise Ratio와 Mutual Information

이 절에서는 homodyne 및 heterodyne CV-QKD의 signal-to-noise ratio와 mutual information을 유도하고, 이어 이 양들을 code rate 및 bit당 에너지와 연결한다. Heterodyne detection은 두 quadrature에 동시에 접근할 수 있게 하지만 beamsplitter로 인해 SNR이 감소한다.

6. Signal-to-Noise Ratio와 Mutual Information

  • SNR은 signal power를 noise power로 나눈 값으로 결정되며, transmittance, detection type, vacuum noise, excess noise가 수신 variance에 기여한다.Detection parameter는 µ = 1일 때 homodyne, µ = 2일 때 heterodyne detection이다.출처: §6 · p. 19
  • Alice와 Bob 사이의 mutual information은 maximal code rate를 제공하며 SNR로 결정된다.출처: §6 · p. 19
  • Heterodyne detection은 mutual-information 식을 log2(1 + SNR)/2에서 log2(1 + SNR)로 바꾸는 한편, SNR을 대략 1/2만큼 감소시킨다.Heterodyne beamsplitter가 excess noise도 절반으로 줄이므로 감소량은 정확히 1/2가 아니다.출처: §6 · p. 19

6.1. Normalised SNR과의 관계

  • Code rate는 raw bits와 information bits를 연결하고, raw bits와 information bits를 전송하는 데 필요한 에너지와 SNR을 연결한다.출처: §6.1 · p. 19
  • Error-correction efficiency β는 0 ≤ β < 1을 만족하며, rate R인 code가 mutual information IAB를 얼마나 가깝게 달성하는지를 측정한다.출처: §6.1 · p. 19

7. Holevo 정보

이 절에서는 구체적 분석과 보편적 purification 기반 분석에서 covariance matrix와 von Neumann entropy를 사용해 Eve의 Holevo 정보를 유도한다. 또한 receiver의 결함을 Eve에게 귀속하는 엄격한 security assumption과 trusted-device assumption을 구분한다.

7. Holevo 정보

  • Holevo 정보 χEB는 Bob의 측정 전 Eve의 entropy와 측정 후 Eve의 conditional entropy의 차이다.이 entropy들은 관련 covariance matrix의 symplectic eigenvalue로 결정된다.출처: §7 · p. 20
  • von Neumann entropy는 unitary transformation에 대해 불변이므로 Alice와 Bob의 상태에 대한 어떤 purification도 동일한 Holevo 정보를 제공한다.이 자유도 덕분에 security 계산에서 Eve가 어떤 purification을 보유하는지 특정하지 않아도 된다.출처: §7 · p. 20

7.1. Entangling Cloner 공격

  • entangling-cloner 분석에서는 two-mode squeezed vacuum과 beamsplitter로 Eve의 공격을 모델링한 뒤 symplectic eigenvalue로 Eve의 정보를 계산한다.Eve의 variance를 적절히 선택하면 loss가 있는 transmission과 excess noise를 나타내는 covariance matrix가 얻어진다.출처: §7.1 · pp. 20–22

7.1.1. Homodyne Detection

  • homodyne 및 heterodyne detection에서 Bob의 측정은 Eve의 conditional covariance matrix를 변환하며, 그 symplectic eigenvalue가 conditional entropy를 결정한다.출처: §7.1.1 · pp. 22–23, §7.1.2 · p. 23

7.2. Universal Analysis of Purification 공격

  • Eve가 purification을 보유한다고 가정하면 Eve의 entropy는 Alice와 Bob의 joint state entropy와 같아져 Holevo 계산이 단순해진다.joint entropy는 Alice와 Bob의 covariance matrix로부터 얻는 반면, conditional entropy는 Bob이 homodyne detection을 사용하는지 heterodyne detection을 사용하는지에 따라 달라진다.출처: §7.2 · p. 24

7.3. 엄격한 보안 가정과 완화된 보안 가정

  • trusted-device assumption에서는 receiver noise와 detection inefficiency가 Eve의 Holevo 정보에 기여할 필요가 없지만, 여전히 Bob의 SNR과 mutual information에는 영향을 준다.엄격한 assumption에서는 전체 noise와 transmittance를 Eve에게 귀속한다.출처: §7.3 · pp. 25–26
  • preparation noise를 trusted로 취급하는 것은 배제된다. 이는 심각한 side-channel attack의 가능성을 열어 준다고 밝혀졌기 때문이다.출처: §7.3 · p. 26

8. 실용적 파라미터 추정

실용적 파라미터 추정 절차는 Bob의 측정을 보정하고 채널 및 covariance 파라미터를 추정하며, prepare-and-measure 데이터를 security analysis에 필요한 entanglement-based 형식으로 변환한다. 이렇게 얻은 파라미터는 SNR, mutual information, Holevo bound를 결정한다.

8.1. 서론

  • Parameter estimation은 secret-key rate 추정에 필요한 SNR과 Holevo bound를 얻기 위해 측정 데이터를 사용한다.SNR은 transmittance, modulation variance, excess noise, 그리고 homodyne 또는 heterodyne 선택에 의존하며, Holevo bound는 covariance matrix에서 얻어진다.출처: §8 · p. 27, §8.1 · p. 27

8.2. 측정 설정의 보정

  • Bob은 채널 파라미터를 추정하기 전에 전압을 shot-noise units로 매핑하여 자신의 장치를 보정해야 한다.변화하는 calibration 파라미터를 추적하려면 key exchange 중에도 변환 절차를 반복해야 한다.출처: §8.1 · p. 27, §8.2 · p. 27
  • Receiver noise는 channel excess noise와 분리되며, 측정된 voltage variance는 setup-specific factor φ를 통해 shot-noise units와 연결된다.Voltage-variance estimator는 측정된 samples에 기반하며, asymptotic treatment에서는 maximum-likelihood estimate로부터의 편차를 무시한다.출처: §8.2 · pp. 27–28
  • Conversion factor φ는 receiver model에만 의존하지 않고 signal input을 분리한 상태에서 vacuum을 측정하여 experimentally determined된다.Bob은 측정된 voltages를 √φ로 나누고 variances를 φ로 나누어 데이터를 shot-noise units로 표현한다.출처: §8.2 · p. 28

8.3. Covariance Matrix 추정

  • Alice와 Bob은 raw-key samples의 일부를 공개하여 covariance coefficients를 추정하고 prepare-and-measure covariance matrix를 entanglement-based 형식으로 rescale한다.계수 aEB, bEB, cEB만으로 Holevo information을 계산할 수 있으며, transmittance와 excess noise도 복원할 수 있다.출처: §8.3 · pp. 29–30
  • Heterodyne transformation은 Bob의 variance를 bPM = TVmod/2 + 1 + ξ/2에서 bEB = TVmod + 1 + ξ로 변경하지만, homodyne에서는 변하지 않는다.출처: §8.3 · p. 29
  • SNR은 transmittance와 excess noise로부터 또는 Bob의 total and conditional variances로부터 추정할 수 있다.Conditional variance는 Alice의 데이터에 조건부인 Bob의 measurement variance다.출처: §8.3 · p. 30

9. Noise Models

이 절에서는 CV-QKD의 구현 지향적 excess noise 모델을 전개하며, signal과 local-oscillator RIN, modulation, phase recovery, Raman noise, common-mode rejection, receiver detection, ADC quantisation에서 발생하는 기여를 다룬다. 두 detector 또는 두 ADC를 사용하는 heterodyne 구성의 효과를 포함해 shot-noise units로 식을 유도하고, 이산화된 Gaussian modulation에 대한 근본적인 security treatment가 필요함을 지적한다.

9. Noise Models

  • 서로 독립적인 imperfection은 각 quadrature variance를 excess noise ξ에 더하므로, hardware별 total noise와 예상 secure-key rate를 추정할 수 있다.기여 요인에는 detection, preparation, laser intensity fluctuation, imperfect modulation, measurement quantization, Raman scattering이 포함된다.출처: §9 · p. 32

9.1. Relative Intensity Noise – Signal

  • Discretized Gaussian modulation은 quantization noise를 넘어서는 효과를 가지며, 표준 CV-QKD security analysis가 continuous Gaussian state를 가정하므로 더 근본적으로 반영해야 한다.이 장의 signal-RIN 모델은 variance symmetry 아래에서 laser-power variance와 quadrature variance를 연결한다.출처: §9.1 · pp. 32–33
  • Signal-laser RIN은 transmitter quadrature variance로 변환된 뒤, excess noise를 output에서 정의할 때 total channel transmittance에 따라 스케일된다.유도에서는 ⟨nsig⟩ = Vmod/2를 사용해 최종 output-referenced expression을 얻는다.출처: §9.1 · p. 33

9.2. Relative Intensity Noise – Local Oscillator

  • Local-oscillator power fluctuation은 homodyne difference measurement가 local-oscillator amplitude에 비례하므로 excess noise를 추가하며, 최종적으로 RIN에 의존하는 variance expression을 제공한다.유도에서는 signal quadrature와 local-oscillator amplitude를 독립적인 random variable로 다루고, amplitude variance를 mean photon number와 연결한다.출처: §9.2 · pp. 33–35

9.3. Modulation Noise

  • Modulation-voltage noise를 DAC, amplification, modulator, attenuation, channel을 거쳐 전파해 quadrature excess noise를 유도하며, QPSK에 대한 단순화된 최종 expression을 제시한다.일반적인 유도에서는 Taylor expansion을 사용하고, 모든 modulation scheme, phase angle, quadrature에 유효한 여유 있는 upper bound를 제공한다. QPSK에서는 first-order sine term이 사라진다.출처: §9.3 · pp. 36–37, §9.4 · p. 37

9.4. Phase-Recovery Noise

  • Pilot-tone phase recovery는 residual phase와 pilot-measurement noise를 quantum-signal phase noise로 변환하며, N개의 pilot measurement를 평균하면 관련 variance가 감소한다.Pilot noise에는 modulation, phase, Raman, detection, ADC 성분이 포함되며, 최종 관계식은 pilot과 quantum-signal의 mean photon number에 의존한다.출처: §9.4 · pp. 37–38

9.5. Raman Noise

  • Wavelength-multiplexed classical channel에서 유입되는 Raman photon은 thermal하게 모델링하며, spectral noise density와 filter bandwidth로부터 shot-noise units의 excess noise를 표현한다.q- 및 p-quadrature variance가 같다고 가정하고, λ = 1550 nm에 대해 B = 1 GHz 및 f = 193.4 THz에서 ∆λ ≈8 pm의 예시 filter bandwidth를 제시한다.출처: §9.5 · pp. 39–40

9.6. Common-Mode Rejection Ratio

  • 실제적인 differential amplifier는 homodyne current의 mean value 일부도 증폭하므로, detector-noise parameter로 common-mode rejection ratio g/gs를 도입한다.모델은 차이가 input quadrature를 전달하는 PIN-diode current에서 시작하며, differential gain과 common-mode gain을 통해 CMRR을 정의한다.출처: §9.6 · pp. 40–41
  • Common-mode rejection은 signal 또는 local-oscillator photon number가 fluctuation할 때에만 excess-noise variance에 기여하며, 그렇지 않으면 제거 가능한 voltage offset만 만든다.Variance expression에는 signal과 local-oscillator photon number의 variance를 통한 CMRR term이 포함되며, photon number가 일정하면 post-processing 전에 빼야 하는 offset만 남는다.출처: §9.6 · p. 41
  • Heterodyne detection에서는 별도의 noisy receiver가 beamsplitter output 두 개를 각각 담당하므로 CMRR 및 detection-noise contribution이 절반으로 줄지 않으며, factor µ = 2가 필요하다.Homodyne detection에서는 µ = 1, heterodyne detection에서는 µ = 2이며, CMRR noise parameter는 detector별 expression에 비해 두 배가 되어야 한다.출처: §9.6 · p. 42, §9.7 · p. 44

9.7. Detection Noise

  • Detection noise는 receiver voltage noise를 amplifier gain, diode responsivity, optical power, bandwidth를 거쳐 역변환해 shot-noise units의 input excess-noise parameter로 얻는다.실험적으로 측정한 shot-noise variance와 receiver electronic-noise variance 사이의 clearance를 사용해 달리 표현할 수도 있으며, local-oscillator power는 PIN-diode saturation에 의해 제한된다.출처: §9.7 · pp. 43–44

9.8. ADC Quantisation Noise

  • ADC quantisation noise는 output voltage error를 photon-number-difference variance로 역변환하고 intrinsic ADC noise와 quantisation error를 분리해 모델링한다.한 interval에 균일하게 분포하는 quantisation error의 경우 interval width는 full voltage range를 2^n으로 나눈 값이며, heterodyne detection에서는 두 ADC를 고려한다.출처: §9.8 · pp. 44–45

10. 실험적 함의

이 절에서는 CV-QKD 성능을 전송, 초과 잡음, reconciliation, 변조 및 하드웨어 선택과 연결하고, 보안 분석을 위한 Gaussian-state 도구를 소개한다.

10. 실험적 함의

  • 40 km에서 초과 잡음 임계값은 shot noise의 1% 미만이므로, 저잡음 운용이 주요 실험 과제가 된다.초과 잡음이 낮을수록 더 큰 손실을 허용하고 더 긴 전송 거리를 확보할 수 있다.출처: §10 · p. 46
  • 일반적인 설정에서는 detection noise가 지배적이며, Raman, phase-recovery 및 ADC quantisation noise가 그 밖의 주요 기여 요인이다.예시에서는 ξtot = 0.0653 SNU 및 ξdet = 0.0396 SNU로, 전체의 약 60%에 해당한다.출처: §10 · p. 46, Figure 10.2 · p. 48
  • Trusted-receiver 가정은 detector와 ADC 요구사항을 크게 완화하는 반면, untrusted detection에서는 낮은 NEP와 충분한 PIN-diode 포화 한계가 중요하다.더 높은 local-oscillator power는 detector noise를 줄일 수 있지만, 일반적인 PIN diode는 대개 10 mW 부근에서 포화된다.출처: §10 · pp. 46–47
  • T = 0.1에서는 6개의 ADC bit만으로도 0이 아닌 키가 가능하며, ADC 해상도를 높이면 bit가 추가될 때마다 quantisation noise가 4배씩 감소한다.또한 이 그림은 Raman noise를 조건 R = 0.95IAB > χEB와 연관시킨다.출처: §10 · p. 47, Figure 10.4 · p. 49
  • 초과 잡음과 거리가 증가할수록 효율적인 reconciliation이 점점 중요해지며, 낮은 β 또는 높은 ξ는 0이 아닌 키를 지원하는 변조 분산 구간을 좁힌다.T = 0.1 및 ξ = 0.01 SNU에서는 reconciliation efficiency가 0.96을 초과해야 한다.출처: §10 · p. 47, Figure 10.5 · p. 50, Figure 10.6 · p. 50

A. Coherent States의 전제

  • Coherent-state 사분면은 동일한 최소 불확실성을 가지며, 평균 광자 수는 ⟨n⟩ = |α|^2 = q^2 + p^2이다.Gaussian modulation은 V(ˆq) = 4Ṽmod + 1을 통해 사분면 분산과 변조 분산을 연결한다.출처: A. Prerequisites on Coherent States · pp. 52–53

B.1. Displacement Vector와 Covariance Matrix

  • Gaussian states는 displacement vectors와 covariance matrices로 표현되며, covariance entries는 사분면 상관관계를 부호화하고 교차항이 사라질 때 separability를 나타낸다.displacement vector의 차원은 2N이고 covariance matrix의 차원은 2N × 2N이다.출처: §B.1 · p. 54

B.2. Symplectic Operations

  • Symplectic operations는 Gaussian-state 변환을 나타내며, 이 분석에서 beamsplitter가 핵심 연산자로 식별된다.Symplectic operation은 displacement vector와 covariance matrix를 통해 Gaussian state를 변환한다.출처: §B.2 · p. 55

B.5. 부분 측정

이 절에서는 한 mode를 측정할 때 나머지 mode의 covariance matrix가 어떻게 변하는지 유도하며, homodyne detection과 heterodyne detection을 구분한다. balanced beamsplitter 구성은 heterodyne conditioning에 vacuum shot noise가 포함됨을 보이고, coherent state에 대한 일반적인 결과를 재현한다.

B.5. 부분 측정

  • mode B에 대한 측정은 B와의 상관관계에 따라 나머지 mode의 covariance matrix를 갱신한다.전체 covariance matrix는 측정하지 않은 mode, 측정한 mode, 그리고 이들 사이의 상관관계에 대해 각각 ΣA, ΣB, ΣC로 분할된다.출처: §B.5 · p. 56
  • Homodyne detection은 Πq 또는 Πp를 사용해 측정할 성분을 선택하여 B의 한 quadrature를 측정한다.q- 및 p-측정 경우는 각각 Πq = diag(1, 0) 및 Πp = diag(0, 1)로 나타낸다.출처: §B.5 · p. 56
  • 부분 측정 식의 pseudoinverse는 관련 matrix가 diagonal일 때 원소별 역산으로 단순화된다.이를 이용하면 conditional covariance 갱신을 편리한 형태로 다시 쓸 수 있다.출처: §B.5 · p. 56
  • B의 두 quadrature를 모두 측정한 뒤 heterodyne detection은 나머지 mode를 갱신한다.이 유도에서는 balanced beamsplitter에서 B를 분할한 후 두 번의 sequential partial homodyne measurement를 수행하는 것으로 모델링한다.출처: §B.5 · pp. 56–57
  • q- 및 p-variance가 같은 coherent state에서는 heterodyne-conditioning 식이 단순화되어 앞서 유도한 결과와 일치한다.balanced beamsplitter는 두 homodyne measurement 전에 추가적인 vacuum contribution을 도입한다.출처: §B.5 · pp. 56–57

C. 공분산 행렬의 유도

이 논문은 ket 표현, 기댓값, 정규화, 사분면 분산으로부터 two-mode squeezed vacuum state의 공분산 행렬을 유도한다. 성분별 계산을 통해 대각 성분, 국소 비대각 성분, 모드 간 성분을 확립한다.

C. 공분산 행렬의 유도

  • 유도는 two-mode squeezed vacuum state의 ket 표현에서 시작하여 공분산 행렬에 필요한 기댓값을 계산한다.공분산 성분을 평가하기 전에 state의 정규화를 확인한다.출처: C. Derivation of the Covariance Matrix · p. 58

C.1. 초기 공분산 행렬

  • two-mode squeezed vacuum은 16개 성분을 개별적으로 유도하는 4×4 공분산 행렬을 갖는다.행렬은 대각 분산, 국소 사분면 공분산, 모드 간 상관관계로 구성된다.출처: §C.1 · p. 58, §C.1.1 · p. 58

C.1.1. Σ11, Σ22, Σ33, Σ44

  • 네 개의 대각 공분산 성분은 V와 같으며, Σ11 = Σ22 = Σ33 = Σ44 = V이다.대각 항은 네 사분면 연산자의 분산으로부터 얻어진다.출처: §C.1.1 · pp. 58–59

C.1.2. Σ12, Σ21, Σ34, Σ43

  • 국소 q-p 공분산 성분은 소거되므로 Σ34 = Σ43 = 0이며, 대응하는 다른 국소 항도 마찬가지다.이 성분들은 사분면 연산자의 대칭화된 곱으로부터 평가된다.출처: §C.1.2 · p. 59

C.1.3. Σ13, Σ31, Σ24, Σ42

  • 유도에서는 필요한 사분면 연산자 기댓값을 생성 연산자와 소멸 연산자로 다시 표현하고, q < 1에 대한 기하급수 계산을 적용한다.q = (V − 1)/(V + 1) = 1 − 2/(V + 1)일 때, 계산 결과는 q(1 − q)−2 = 1/4(V − 1)(V + 1)이다.출처: §C.1.2 · p. 59, §C.1.3 · p. 59

C.1.4. Σ14, Σ41, Σ32, Σ23

  • 남은 교차 사분면 성분은 Σ32 = Σ23 = 0을 만족한다.이로써 공분산 행렬에서 보고된 소거되는 비대각 성분의 계산이 완료된다.출처: §C.1.4 · p. 60

C.1.5. 최종 Σ

이 논문은 two-mode squeezed-vacuum covariance matrix를 완성하고, lossy channel을 통한 한 mode의 transmission을 모델링한다. channel은 vacuum input이 추가된 beamsplitter와 그에 이은 symplectic covariance transformation으로 나타낸다.

C.1.5. 최종 Σ

  • 성분별 유도를 two-mode squeezed vacuum state의 최종 covariance matrix로 정리한다.이 최종 표현은 앞서 유도한 diagonal 및 correlation entry를 종합한다.출처: §C.1.5 · p. 60

C.2. Channel Transmission

  • transmission loss는 Bob’s mode를 transmittance T를 갖는 beamsplitter로 보내고 vacuum mode를 추가하는 방식으로 모델링한다.vacuum input은 2×2 unit matrix로 나타내며 확장된 covariance matrix에 포함한다.출처: §C.2 · p. 61
  • beamsplitter는 Alice’s mode는 그대로 둔 채 Bob’s mode와 vacuum input에 작용한다.이에 대응하는 symplectic transformation은 initial covariance matrix를 post-transmission state로 사상한다.출처: §C.2 · p. 61
  • 결과 covariance matrix는 lossy channel을 통한 transmission 이후의 post-channel Alice-Bob substate를 산출한다.이 과정은 변환된 state와 그 Alice 및 Bob substate를 식별한다.출처: §C.2 · p. 61

C.3. Excess Noise를 포함한 Channel Transmission

이 논문은 channel transmission을 excess noise까지 확장한 뒤, balanced beamsplitter와 vacuum input을 사용해 Bob의 heterodyne measurement를 모델링한다. 이러한 변환으로 Bob의 noisy covariance와 q- 및 p-quadrature의 동시 검출이 결정된다.

C.3. Excess Noise를 포함한 Channel Transmission

  • Excess noise는 channel beamsplitter의 vacuum input을 quadrature의 variance가 N인 noisy input으로 대체해 모델링한다.beamsplitter 변환을 two-mode squeezed state와 noisy input에 적용하면 transmitted covariance matrix를 얻는다.출처: §C.3 · p. 62
  • Bob의 transmitted quadrature variance는 channel transmittance T, initial variance V, noise variance N을 사용해 표현된다.noise 정의는 TV + (1 − T)N을 T(V − 1) + 1 + ξ와 연결한다.출처: §C.3 · p. 62
  • Excess-noise model은 channel output에 대한 final covariance matrix를 생성한다.이는 noisy transmission 계산에서 명시된 종단점이다.출처: §C.3 · p. 62

C.4. Bob Heterodyning

  • Bob은 자신의 signal을 balanced beamsplitter로 분할하고 additional vacuum mode를 두 번째 input으로 사용해 heterodyne한다.beamsplitter는 Bob의 mode와 vacuum에 작용하며 Alice의 mode는 그대로 둔다.출처: §C.4 · pp. 62–63
  • Heterodyne 변환은 simultaneous quadrature detection 이후 Alice와 Bob에 대한 covariance-matrix components를 생성한다.제시된 식에는 추가된 vacuum contribution과 변환된 q-quadrature 항이 포함된다.출처: §C.4 · p. 63

D. 양자 Homodyne Detection

이 논문은 coherent-state 및 beamsplitter 변환에서 homodyne detection을 유도한 뒤, double-MZI q/p-modulator를 설명하고 SNU, NU, SI convention을 구분한다.

D. 양자 Homodyne Detection

  • homodyne number-difference operator는 local-oscillator phase θ에 따라 q 또는 p quadrature를 선택한다.유도는 coherent-state quadrature에서 시작해 balanced-beamsplitter 출력과 photon-number subtraction을 거쳐 진행된다.출처: D. Quantum Homodyne Detection · p. 64

E. q/p-Modulator의 원리

  • double Mach-Zehnder interferometer는 nested inner MZI, voltage-controlled phase rotation, 선택적 output recombination을 사용해 q/p modulation을 구현한다.인가된 전압은 electro-optic effect를 통해 waveguide 굴절률을 변화시키며, recombination 전에 ±ϕ1 및 ±ϕ2 phase를 생성한다.출처: E. Principles of a q/p-Modulator · pp. 65–66
  • q/p-modulator는 coherent state를 vacuum과 먼저 분리한 다음, 각 outer-MZI arm을 다시 두 inner MZI로 분할한다.모델링된 구현에서는 선택된 beamsplitter 출력만 유지한다.출처: E. Principles of a q/p-Modulator · pp. 65–66

F. SI-, Natural- 및 Shot-Noise Unit

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