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Time-Domain Multiplexed 2-Dimensional Cluster State: Universal Quantum Computing Platform
Warit Asavanant, Yu Shiozawa, Shota Yokoyama, Baramee Charoensombutamon, Hiroki Emura, Rafael N. Alexander, Shuntaro Takeda, Jun-ichi Yoshikawa, Nicolas C. Menicucci, Hidehiro Yonezawa, Akira Furusawa
TL;DR
Universal measurement-based quantum computation에는 확장 가능한 2차원 cluster state가 필요하지만, 기존 시연은 하나의 입력을 처리하는 resource로 제한되었다. 이 논문은 time-domain multiplexed continuous-variable 2차원 cluster state를 증명하고 실험적으로 구현하여, 5개 입력에서 약 5,000개의 연산 단계를 지원하는 resource를 생성한다.
문제
Universal measurement-based quantum computation을 위해서는 임의의 Gaussian 및 non-Gaussian 연산을 지원하는 resource state의 구현이 여전히 필요하다.
방법
이 논문은 정밀하게 제어되는 두 개의 optical delay line을 이용한 time-domain multiplexing을 사용하고, programmable Gaussian operations, non-Gaussian operations 및 adaptive feed-forward를 통해 universality를 증명한다.
결과
생성된 cluster-state graph는 무한히 긴 helix를 가지며, 이는 unlimited number of modes에 해당하는 반면 temporal modes는 서로 orthogonal하고 independent하게 유지된다.
핵심 시사점 및 한계
시연된 2차원 cluster state는 universal measurement-based quantum computation을 위한 scalable resource architecture를 제공한다.
핵심 시사점 및 한계
non-Gaussian operations를 위한 ancillary-state injection은 cluster state의 일부를 소모하여 지원 가능한 input modes의 수를 줄인다.
Abstract
from arXiv · showhide
Quantum computation promises applications that are thought to be impossible with classical computation. To realize practical quantum computation, the following three properties will be necessary: universality, scalability, and fault-tolerance. Universality is the ability to execute arbitrary multi-input quantum algorithms. Scalability means that computational resources such as logical qubits can be increased without requiring exponential increase in physical resources. Lastly, fault-tolerance is the ability to perform quantum algorithms in presence of imperfections and noise. A promising approach to scalability was demonstrated with the generation of one-million-mode 1-dimensional cluster state, a resource for one-input computation in measurement-based quantum computation (MBQC). The demonstration was based on time-domain multiplexing (TDM) approach using continuous-variable (CV) optical flying qumodes (CV analogue of qubit). Demonstrating universality, however, has been a challenging task for any physical system and approach. Here, we present, for the first time among any physical system, experimental realization of a scalable resource state for universal MBQC: a 2-dimensional cluster state. We also prove the universality and give the methodology for utilizing this state in MBQC. Our state is based on TDM approach that allows unlimited resource generation regardless of the coherence time of the system. As a demonstration of our method, we generate and verify a 2-dimensional cluster state capable of about 5,000 operation steps on 5 inputs.
방법 · 경쟁 금융 이해관계 · S1. 실험 설정
실험에는 squeezed-vacuum OPO source와 nonlinear generation, delay-line interferometry, homodyne verification, temporal-mode analysis를 포함하는 TDM optical setup이 사용됐다. 저자들은 경쟁 금융 이해관계가 없음을 밝혔다.
- 방법: 약 80 MHz bandwidth의 optical parametric oscillator가 squeezed-vacuum source로 사용됐다.이 source는 optical experiment에 사용된 squeezed vacuum을 제공했다.
- 경쟁 금융 이해관계: 저자들은 경쟁 금융 이해관계가 없음을 밝혔다.보충 정보는 논문 “Time-Domain Multiplexed 2-Dimensional Cluster State: Universal Quantum Computing Platform”과 함께 제공된다.
- S1. 실험 설정: CW 860 nm Ti:Sapphire laser가 약 1.4 W를 공급했으며, 여기에는 SHG용 약 1 W와 mode cleaning용 60 mW가 포함됐다.SHG는 KNbO3 nonlinear medium을 사용해 약 460 mW의 430 nm pump light를 생성했다.
- S1. 실험 설정: setup에는 48 mm cavity, 14% output-coupler transmittivity, 0.2–0.3% intracavity loss를 갖는 네 개의 PPKTP-crystal OPO가 사용됐다.이 loss는 OPO당 1.4–2.1% external loss에 해당한다.
- S1. 실험 설정: 다섯 개의 50:50 beamsplitter와 두 개의 delay line이 state-generation interferometry를 구현했으며, 40 m fiber가 200 ns long delay를 제공했다.짧은 free-space delay는 12 m였고 fiber transmittivity는 약 90%였으며, beamsplitter visibility는 96–99%였다.
- S1. 실험 설정: Balanced homodyne detection은 100 MHz detector, 9.5 mW local oscillator, >97% interferometric visibility를 사용해 생성된 two-dimensional cluster state를 검증했다.probe-beam contribution은 측정 신호에서 전기적으로 제거됐다.
- S1. 실험 설정: Oscilloscope recording은 1 GHz로 12,000 frames에 걸쳐 sampling됐으며, temporal mode당 40 data points를 사용해 quadrature statistics를 계산했다.인접한 temporal mode 사이의 correlation을 최소화하도록 40 ns wave-packet shape를 설계했다.
- S1. 실험 설정: temporal wave packet은 무시할 수 있을 정도의 intermode overlap을 보여, 측정에 사용된 독립적이고 직교하는 bosonic quantum mode를 확인했다.correlation coefficient는 각 homodyne detector의 shot-noise measurement에서 평가됐다.
S2. 2차원 클러스터 상태 생성을 위한 이론 · S2.1. Nullifier와 Graph
이 절에서는 실험적으로 생성된 2차원 continuous-variable 클러스터 상태의 nullifier와 graph 구조를 유도한다. 원래 클러스터 상태 정식화와의 동등성을 확립하고, 유한 squeezing에서 발생하는 nullifier noise를 source OPO의 squeezing과 연관짓는다.
- S2.1. Nullifier와 Graph: 생성된 상태는 node가 mode이고 그 구조가 Gaussian state의 covariance matrix와 일대일로 대응하는 graph로 기술된다.이 graph 표현은 local displacement를 제외하면 pure Gaussian state를 유일하게 지정한다.
- S2.1. Nullifier와 Graph: 유도는 p = 0 및 x = 0으로 squeezing된 vacuum input에서 시작하여 beam-splitter network를 통과하는 동안 nullifier를 추적한다.초기 할당은 OPO-A와 OPO-C에서 나온 p-squeezed vacuum, OPO-B와 OPO-D에서 나온 x-squeezed vacuum이다.
- S2.1. Nullifier와 Graph: BS-1부터 BS-3까지 통과한 뒤 각 temporal index는 네 spatial mode를 연결하는 square cluster를 형성한다.이후 두 optical delay line과 BS-4 및 BS-5가 이 square들을 연결하여 2차원 클러스터 상태를 만든다.
- S2.1. Nullifier와 Graph: mode의 절반에 local Fourier transform을 적용하면 computational capability를 바꾸지 않고 nullifier가 표준적인 p−∑g_i x_i 형식으로 변환된다.이 변환은 measurement basis를 바꾸고 graph 구조를 보존하는 동시에 edge weight를 수정한다.
- S2.1. Nullifier와 Graph: N = 5일 때 결과 graph의 edge-weight 크기는 EPR state에 대해 C = 1/√2이다.이 graph에는 실험의 cylindrical boundary condition과 temporal indexing도 반영된다.
- S2.1. Nullifier와 Graph: 유한 squeezing의 경우 node 사이의 edge에 더해 self-loop도 나타나며, self-loop weight는 EPR state의 weight와 일치한다.Fourier transform은 edge weight를 바꾸지만 graph의 구조는 바꾸지 않는다.
- S2.1. Nullifier와 Graph: 이상적인 무손실·무결함 한계에서는 유한 squeezing의 nullifier 값이 각 OPO가 공급하는 original squeezing에 대응한다.nullifier는 source mode의 squeezing parameter와 vacuum quadrature를 통해 표현된다.
S2.2. 비분리성 기준의 유도
이 절에서는 van Loock–Furusawa criterion을 사용해 cluster state의 nullifier로부터 비분리성 기준을 유도하고, shot noise 대비 −4.5 dB의 variance threshold를 확립한다. 또한 six-mode 경우에 필요한 bipartition 분석을 체계화한다.
- Threshold criterion: shot noise 대비 −4.5 dB의 nullifier variance는 이 cluster state의 비분리성을 확립하기에 충분하다.이에 대응하는 one-dimensional threshold는 shot noise 대비 −3 dB이며, 더 높은 threshold는 two-dimensional state의 더 큰 connectivity를 반영한다.
- Threshold criterion: van Loock–Furusawa criterion은 cluster-state nullifier를 quadrature 조합으로 사용하고, 유한 squeezing threshold에 대한 variance 측정을 통해 비분리성을 검정한다.실험적으로 측정한 nullifier variance가 유도된 threshold보다 낮으면 이 criterion은 비분리성을 확립한다.
- Bipartition analysis: six-mode 분석에서는 one-dimensional 경우의 7개와 비교해 62 bipartitions를 제외해야 하므로, 계산을 체계적으로 수행한다.유도 과정에서는 one-versus-five, two-versus-four, three-versus-three mode bipartition을 고려하며, complementary nullifier set도 동일한 방식으로 다룬다.
- Normalization: 실험적 nullifier는 vacuum으로 정규화되며, 해당 X quadrature 조합의 vacuum variance는 four shot-noise units와 같다.동일한 관계가 P에도 적용되므로, threshold를 shot noise 대비 데시벨로 표현할 수 있다.
S2.2.1. 1개 모드와 5개 모드
1개 모드의 경우 nullifier는 모드 인덱스에 따라 3 dB 또는 4.5 dB의 squeezing에 대응한다.
- 1개 모드와 5개 모드: 모드 (A,k) 또는 (B,k)는 각 nullifier에 대해 3 dB의 squeezing에 대응한다.
- 1개 모드와 5개 모드: 모드 (A,k +1) 또는 (B,k +1)는 각 nullifier에 대해 4.5 dB의 squeezing에 대응한다.
- 1개 모드와 5개 모드: 모드 (C,k +N) 또는 (D,k +N)는 각 nullifier에 대해 4.5 dB의 squeezing에 대응한다.
S2.2.2. 두 모드와 네 모드 · S2.2.3. 세 모드와 세 모드
nullifier 분석은 모드 구성에 squeezing 임계값을 할당하고, nullifier당 4.5 dB가 inseparability의 충분조건임을 확립한다. bipartite self-inverse Gaussian cluster state에서는 최악의 경우 4.5 dB가 필요조건이기도 하다.
- S2.2.2. 두 모드와 네 모드: (A,k)와 (B,k)에서 가져온 두 모드의 경우, 각 nullifier는 0 dB의 squeezing에 해당한다.이는 두 모드 경우에 대해 분석한 첫 번째 모드 구성이다.
- S2.2.2. 두 모드와 네 모드: (A,k +1), (B,k +1), (C,k +N), (D,k +N)에서 가져온 두 모드의 경우, 각 nullifier는 3 dB의 squeezing에 해당한다.이 구성은 두 모드의 두 번째 경우를 정의한다.
- S2.2.2. 두 모드와 네 모드: 나머지 모든 두 모드 구성은 각 nullifier에 대해 4.5 dB의 squeezing에 해당한다.이 경우들은 처음 두 구성에 포함되지 않는 경우다.
- S2.2.3. 세 모드와 세 모드: 두 모드가 (A,k)와 (B,k)이고 세 번째 모드가 지정된 shifted modes에서 온 경우, 각 nullifier는 1.2 dB의 squeezing에 해당한다.세 번째 모드는 (A,k +1), (B,k +1), (C,k +N), (D,k +N) 중 하나일 수 있다.
- S2.2.3. 세 모드와 세 모드: 세 모드가 모두 지정된 shifted modes에서 온 경우, 각 nullifier는 1.2 dB의 squeezing에 해당한다.shifted modes는 (A,k +1), (B,k +1), (C,k +N), (D,k +N)이다.
- S2.2.3. 세 모드와 세 모드: 나머지 모든 세 모드 구성은 각 nullifier에 대해 4.5 dB의 squeezing에 해당한다.분석에서는 모드 간 separability 조건을 도출하기 위해 bipartite 및 self-inverse graph 특성도 사용한다.
- S2.2.3. 세 모드와 세 모드: 각 nullifier에 대해 4.5 dB의 squeezing은 inseparability의 충분조건이지만, 더 낮은 충분 임계값이 존재할 수도 있다.이 기준은 bipartite self-inverse Gaussian cluster state에 대응하는 필요 임계값에 의해 뒷받침된다.
- S2.2.3. 세 모드와 세 모드: 이 state에서는 최악의 경우 4.5 dB의 squeezing이 필요하며, 이는 명시적으로 입증된 inseparability 임계값과 일치한다.필요 수준은 −10log10 g로 결정되며, 이 state에서는 g = 1 2 √이다.
S3. 두 광학 지연선 길이 측정
2차원 cluster state 생성기에는 정확한 정수 관계를 갖는 두 광학 지연선이 필요하다. 위상차 측정과 optical stage 보정을 통해 짧은 선과 긴 선의 길이를 각각 11.85 m와 59.75 m로 결정했으며, 비율은 0.99:5였다.
- 시스템 요구사항: 2차원 cluster-state 시스템은 두 광학 지연선을 사용하며, 긴 선은 짧은 선의 정수배가 되도록 설계된다.이 정밀도 요구사항은 2차원 생성기를 1차원 경우와 구별한다.
- 측정 방법: 지연선 길이는 기준 경로와 지연 경로를 통과한 주파수 의존 위상차를 비교해 측정한 뒤 optical stage를 사용해 보정했다.측정 방식에는 electro-optic modulator와 network analyzer가 사용됐다.
- 측정 결과: 짧은 광학 지연선과 긴 광학 지연선의 길이는 각각 11.85 m와 59.75 m로 측정됐으며, 길이 비율은 0.99:5였다.길이는 위상-주파수 의존성으로 구하고 optical stage로 보정했다.
S4. 광학 손실과 길이 불일치가 nullifier에 미치는 영향 · S5. homodyne 검출기의 전력 스펙트럼
분석 결과, 손실과 지연 불일치는 2차원 cluster state의 nullifier를 저하시키며, homodyne 전력 스펙트럼은 위상 잠금, quadrature 식별, 이론과의 일치 여부를 진단한다. 주파수 영역의 특징은 interferometer의 지연선과 EPR noise가 측정된 상태를 어떻게 형성하는지도 보여준다.
- S4. 광학 손실과 길이 불일치가 nullifier에 미치는 영향: nullifier 모델은 wave-packet 폭이 short-delay 시간과 같다고 가정하며, 모든 경로에 공통 detection efficiency η를 사용한다.long-delay 불일치는 ∆τ2 = τ2 − N∆t로 정의되며, source spectrum은 squeezing, anti-squeezing, pump amplitude, bandwidth, intracavity loss에 의존한다.
- S4. 광학 손실과 길이 불일치가 nullifier에 미치는 영향: long-delay 불일치가 없으면 loss 항은 1−η의 유효한 추가 source loss로 단순화된다.이 이상화된 극한은 불일치가 추가적인 저하를 유발하는 방식을 평가하기 위한 기준선을 제공한다.
- S4. 광학 손실과 길이 불일치가 nullifier에 미치는 영향: 추가적인 지연 불일치는 anti-squeezing을 nullifier에 혼입하고 temporal-mode orthogonality와 독립성을 저하시킨다.유도 과정에서는 경로 전체의 detection efficiency가 같다고 가정하지만, 실제 efficiency는 경로와 beam에 따라 달라진다.
- S5. homodyne 검출기의 전력 스펙트럼: 주파수 영역 분석은 interferometer의 네 source와 아홉 beam splitter에도 불구하고 시간적으로 인코딩된 상태에 대한 이론적·실험적 통찰을 제공한다.이러한 복잡성 때문에 nullifier 데이터에 더해 detector power spectrum을 검토할 필요가 있다.
- S5. homodyne 검출기의 전력 스펙트럼: 진동하는 homodyne power spectrum은 올바른 위상 잠금을 검증하며, 진동 주기는 각각의 delay-line 길이에 의해 결정된다.스펙트럼은 x̂와 p̂ 사이에서 서로 바뀌며, 동일한 quadrature가 아니라 서로 다른 quadrature가 관측되고 있음을 확인한다.
- S5. homodyne 검출기의 전력 스펙트럼: 복잡한 interferometer의 주파수 응답은 delay-line의 위상 변이를 반영하며, 50% 유효 arm loss 거동은 일반적인 vacuum 오염이 아니라 EPR-pair noise를 유입한다.EPR noise는 EPR pair의 한 party가 상태에 유입되면서 발생하며, 진동하는 Mach–Zehnder 기여도 함께 나타난다.
- S5. homodyne 검출기의 전력 스펙트럼: 2차원 cluster state에서 homodyne detector 전반에 걸쳐 이론 및 실험 power spectrum이 일치한다.Fig. S8은 이론적 x̂ 및 p̂ 스펙트럼과 실험 측정값을 비교하며, 이론은 η = 0.75 및 ξ = 0.65를 가정한다.
S6. 2차원 클러스터 상태의 보편성 증명
이 절에서는 생성된 2차원 클러스터 상태가 필요한 Gaussian 및 non-Gaussian 연산을 구현할 수 있음을 확립하여 MBQC에 보편적임을 증명한다. 또한 각 연산을 독립적으로 제어하고 쉽게 프로그래밍할 수 있어야 한다는 조건을 통해 실용적 사용 가능성도 다룬다.
- S6. 2차원 클러스터 상태의 보편성 증명: 보편성을 위해서는 임의의 단일 모드 Gaussian 연산, 2모드 Gaussian 연산, 그리고 적어도 하나의 단일 모드 non-Gaussian 연산을 구현해야 한다.
- S6. 2차원 클러스터 상태의 보편성 증명: 상태를 실용적으로 MBQC에 사용하려면 연산을 쉽게 프로그래밍하고 모든 연산을 독립적으로 제어할 수 있어야 한다.
- S6. 2차원 클러스터 상태의 보편성 증명: 이 절에서는 보편성을 증명하고 생성된 상태를 measurement-based quantum computation에서 사용하는 방법을 논의한다.
S6.1. 측정
beam splitter 후의 homodyne 측정은 beam splitter 없이 측정한 뒤 결과를 후처리하는 것과 동등하다. 2차원 cluster state에서는 동일한 basis를 사용한 측정이 가능하며, 인접한 mode를 별도의 quantum wire로 분리하는 데 도움이 된다.
- 측정: homodyne-C와 homodyne-D에 동일한 측정 basis를 사용하면 2차원 cluster state에서 이 측정 절차를 구현할 수 있다.
- 측정: beam splitter 후의 homodyne 측정은 직접 측정한 뒤 후처리하는 것과 동등하다.이 동등성은 Fig. S9에 제시되어 있다.
- 측정: 측정 결과를 후처리하면 인접한 mode도 별도의 quantum wire로 분리된다.
S6.2. 단일 모드 Gaussian 연산
2-D cluster는 연계된 측정을 통해 인접 wire에서 quantum wire를 분리함으로써 단일 모드 연산을 구현한다. 두 번의 연산 단계로 프로토콜은 임의의 단일 모드 Gaussian 연산을 실현하며, 유한 squeezing 잡음은 Ref.9와 같이 처리한다.
- 단일 모드 Gaussian 연산: 관련 temporal mode에 동일한 measurement basis를 선택하면 대상 quantum wire가 인접 wire와 얽힘이 풀려 원치 않는 상호작용을 방지한다.이러한 분리는 Figure S10에 제시된 단일 모드 회로를 적용하기 전에 필요하다.
- 단일 모드 Gaussian 연산: 그 결과의 단일 모드 연산은 quantum teleportation 후 squeezing을 수행하는 것과 동등하며, 인접 mode 간 상호작용을 방지하는 measurement-basis 제약을 받는다.universal squeezer에서는 인접한 homodyne-A 및 -B measurement가 직교 basis를 사용해야 하며, 이에 따라 ± 선택이 가능한 추가 squeezing gate가 생성된다.
- 단일 모드 Gaussian 연산: homodyne measurement의 자유도를 사용하면 임의의 단일 모드 Gaussian 연산을 구현하는 데 두 번의 연산 단계면 충분하다.인접 temporal index에서의 직교 measurement basis가 추가 squeezing의 부호를 결정하고, homodyne-C 및 -D의 두 자유도가 임의의 Gaussian 제어를 제공한다.
- 단일 모드 Gaussian 연산: 유한 squeezing 잡음은 Ref.9와 동일한 처리를 사용해 포함할 수 있다.따라서 이 프로토콜의 잡음 분석은 인용된 reference의 framework를 따른다.
S6.3. 2모드 Gaussian 연산
cluster state는 선택한 인접 input mode를 얽히게 하는 measurement basis를 선택해 2모드 Gaussian 연산을 구현한다. 이 연산은 각 mode에 추가 squeezing gate가 적용된 QND 상호작용을 실현한다.
- S6.3. 2모드 Gaussian 연산: Measurement-basis selection은 해당 cluster-state 부분 영역을 분리해 선택한 인접 input mode 사이의 2모드 연산을 가능하게 한다.구현은 one-mode operation component를 포함하는 equivalent circuit로 나타낸다.
- S6.3. 2모드 Gaussian 연산: 이 연산은 각 mode에 추가 squeezing gate가 적용된 QND 상호작용 C_x(g) = exp(−ig p_1⊗x_2)에 해당한다.
- S6.3. 2모드 Gaussian 연산: Figure S11은 basis choice, equivalent circuit, simplified circuit, 그리고 quantum non-demolition interaction의 예시 구현을 보여준다.
S6.4. 단일 모드 비가우시안 연산 … S6.5. Feed-forward
이 cluster state는 ancillary-state injection을 포함한 cubic-phase 비가우시안 연산을 통해 universal computation을 지원하며, feed-forward는 adaptive measurement-basis change와 최종 결과 보정으로 줄일 수 있다.
- S6.4. 단일 모드 비가우시안 연산: cluster state 외부에 추가 회로로 구현한 cubic-phase gate가 이 cluster-state architecture의 universality proof를 완성한다.이 방법은 bilayer square-lattice cluster state에 제안된 접근법을 따른다.
- S6.4.1. Ancillary state injection을 이용한 cubic phase gate: Ancillary cubic-phase-state injection은 추가 구성요소 없이 임의의 encoding에 비가우시안 연산을 구현한다.이 접근법은 각 비가우시안 연산마다 별도의 회로를 준비하는 것보다 유연성이 높다.
- S6.4.1. Ancillary state injection을 이용한 cubic phase gate: 한 input mode를 cubic phase state로 대체하면 measurement basis를 적절히 선택했을 때 두 모드 회로가 cubic-phase gate로 변환된다.이 절차에는 adaptive homodyne measurement가 필요하며, 한 측정값은 이전 결과에 의존한다.
- S6.4.2. GKP qubit를 이용한 distillable magic state 생성: GKP qubit는 GKP qubit, Gaussian operation, homodyne 또는 heterodyne measurement만으로 distillable magic state로 사용할 수 있다.이를 통해 universality와 fault-tolerance를 모두 구현할 때 photon counting 및 기타 비가우시안 resource가 필요하지 않다.
- S6.5. Feed-forward: 이전 연산에서 발생한 displacement는 beam splitter를 통과하며 지연시킨 뒤 homodyne measurement에 흡수할 수 있어 사전 물리적 feed-forward를 피할 수 있다.그 결과 displacement는 과거 measurement 결과에 의존한다.
- S6.5. Feed-forward: 표준 MBQC에서는 measurement 뒤에 corrective displacement가 따르지만, 최종 homodyne detection이 결과에 누적 displacement를 반영하도록 할 수 있다.따라서 multimode output measurement에서는 corrective displacement operation을 물리적으로 구현할 필요가 없다.
- S6.5. Feed-forward: displacement correction을 최종 measurement 결과에 흡수하면 adaptive measurement-basis change가 필요한 유일한 feed-forward operation이다.저자들은 이 특성이 현재 setup에서 생성한 cluster state에도 성립한다고 강조한다.