MIMO Transmission through Reconfigurable Intelligent Surface: System Design, Analysis, and Implementation

Wankai Tang; Jun Yan Dai; Ming Zheng Chen; Kai-Kit Wong; Xiao Li; Xinsheng Zhao; Shi Jin; Qiang Cheng; Tie Jun Cui

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MIMO Transmission through Reconfigurable Intelligent Surface: System Design, Analysis, and Implementation

Wankai Tang, Jun Yan Dai, Ming Zheng Chen, Kai-Kit Wong, Xiao Li, Xinsheng Zhao, Shi Jin, Qiang Cheng, Tie Jun Cui

arXiv:1912.09955v22019년 12월 20일eess.SPcs.IT

TL;DR

기존 RIS transmitter는 hardware constraint를 반영한 analytical model이 부족하고, 주로 기본적인 SISO communication에서만 시연되었다. 본 논문은 MIMO-QAM을 위한 analytical system modeling과 amplitude-and-phase-varying RIS architecture를 개발하고, 이를 실시간 over-the-air 환경에서 검증하여 2×2 MIMO 16-QAM prototype에서 20 Mbps를 달성했다.

문제
기존 RIS-transmitter 연구는 hardware-aware analytical formulation이 부족하며, 대체로 기본적인 SISO communication에 머물러 있다.
방법
본 논문은 RIS-based MIMO-QAM transmission을 모델링하고, 더 높은 차수의 modulation을 지원하기 위해 두 개의 symbol degree of freedom을 갖는 amplitude-and-phase-varying modulation을 사용한다.
결과
약 0.7 W의 power consumption으로 실시간 over-the-air 2×2 MIMO 16-QAM prototype에서 20 Mbps를 달성했다.
시사점 및 한계
이 결과는 RIS-based MIMO-QAM이 감당 가능한 hardware complexity로 UM-MIMO와 holographic MIMO를 구현하기에 매력적인 architecture임을 뒷받침한다.

Abstract

from arXiv · show

Reconfigurable intelligent surface (RIS) is a new paradigm that has great potential to achieve cost-effective, energy-efficient information modulation for wireless transmission, by the ability to change the reflection coefficients of the unit cells of a programmable metasurface. Nevertheless, the electromagnetic responses of the RISs are usually only phase-adjustable, which considerably limits the achievable rate of RIS-based transmitters. In this paper, we propose an RIS architecture to achieve amplitude-and-phase-varying modulation, which facilitates the design of multiple-input multiple-output (MIMO) quadrature amplitude modulation (QAM) transmission. The hardware constraints of the RIS and their impacts on the system design are discussed and analyzed. Furthermore, the proposed approach is evaluated using our prototype which implements the RIS-based MIMO-QAM transmission over the air in real time.

I. 서론 … 1) RIS 기반 변조:

이 논문은 미래의 high-dimensional 무선 시스템을 위한 저비용 대안으로 RIS를 제시하고, physics-aware RIS 기반 MIMO-QAM 설계를 개발하며, real-time prototype으로 이를 검증한다. 시스템 모델은 조정 가능한 unit-cell reflection amplitude와 phase가 air-fed carrier를 직접 변조하여 무선 전송을 수행할 수 있음을 보인다.

I. 서론: RIS는 고가의 hardware와 다수의 RF chain이 필요한 terahertz, ultra-massive-MIMO 및 기타 6G architecture의 구현 부담을 줄일 수 있다.RIS는 programmable metasurface를 사용해 외부에서 제어되는 unit cell을 통해 반사 electromagnetic-wave amplitude와 phase를 조작한다.
A. 관련 연구: 기존 RIS transmitter는 BFSK, QPSK, 8PSK 및 multi-modulation 전송을 시연했지만, RIS physics와 electromagnetic behavior를 포착하는 analytical model은 부족했다.기존 연구는 RIS 기반 transmitter를 위한 symbol-error analysis와 modulation/resource-allocation method도 개발했다.
B. 주요 기여: 이 논문은 physics- 및 electromagnetics-aware RIS 기반 MIMO 전송을 정식화하고, 그 동작 원리와 기본 표현이 기존 non-RIS MIMO communication과 일치함을 보인다.또한 high-order modulation을 위한 constant-envelope nonlinear modulation을 도입하고, RIS 기반 MIMO-QAM 설계에서 discrete phase-shift가 미치는 영향을 분석한다.
B. 주요 기여: varactor-diode programmable metasurface prototype은 real-time RIS 기반 MIMO-QAM wireless communication을 구현하며, metasurface와 control board가 소비하는 전력은 약 0.7 W다.이 prototype은 real-time RIS 기반 MIMO-QAM wireless communication의 세계 최초 구현으로 제시된다.
C. 논문 구성: 이 논문은 RIS transmitter fundamentals와 MIMO system modeling에서 MIMO-QAM design, hardware constraints, transceiver implementation 및 experimental results로 전개된다.이 구성은 analytical system model을 후속 design 및 prototype evaluation과 연결한다.
A. RIS 기반 Transmitter의 기초: RIS는 외부에서 조정되는 electromagnetic properties를 지닌 subwavelength unit cell이 규칙적으로 배열된 programmable metasurface다.각 unit cell은 일반적으로 설계된 metal pattern, dielectric material 및 tunable component를 결합한다.
1) RIS 기반 변조:: 각 unit cell의 equivalent load impedance를 조정하면 reflection amplitude와 phase가 변하므로, air-fed single-tone carrier의 amplitude-and-phase modulation이 가능해진다.모든 cell이 하나의 control signal을 공유하면 RIS는 표면 전체에서 동일한 modulation을 수행하고 기본적인 SISO communication을 구현한다.

2) RIS 기반 다중 채널 송신기: · B. 통신 모델

RIS 기반 송신기는 unit cell의 reflection coefficient를 독립적으로 제어해 다중 채널 통신을 구현하면서, 기존 RF chain을 사용하지 않고 하나의 narrowband power amplifier만 사용한다. MIMO 모델은 각 수신 신호를 unit cell reflection의 중첩으로 나타내며, programmable amplitude와 phase는 RIS geometry, propagation channel, receiver noise에 의해 결정된다.

2) RIS 기반 다중 채널 송신기:: 독립적인 unit-cell 제어는 여러 baseband bitstream을 DAC로 구동되는 reflection coefficient에 매핑해 RIS 기반 다중 채널 전송을 가능하게 한다.전송 가능한 bitstream의 최대 개수는 사용 가능한 unit cell 수와 제어 경로에 의해 결정된다.
2) RIS 기반 다중 채널 송신기:: 이 architecture는 baseband module을 radiation unit cell에 직접 연결해 기존 RF chain을 제거하고 하나의 narrowband power amplifier만 필요로 한다.이 구성은 기존 다중 채널 송신기에서 발생하는 power-amplifier nonlinearity 문제를 피한다.
B. 통신 모델: 통신 모델은 독립적으로 DAC 제어되는 unit cell로 구성된 N-by-M RIS를 포함하며, reflection coefficient, dimension, gain, radiation pattern으로 특성화된다.수신기는 K개의 antenna를 가지며, 모델은 각 unit cell과 receiving antenna 사이의 거리와 각도 관계를 정의한다.
B. 통신 모델: 모델은 feed-path obstruction이 없는 normal-incidence far-field 조건에서 unit cell 전체에 동일한 incident amplitude와 phase가 입사하는 uniform illumination을 가정한다.RIS 바로 앞에 배치된 feed antenna가 이 가정을 뒷받침하는 실용적 기반으로 제시된다.
B. 통신 모델: noise가 없는 free space에서 각 receiving antenna는 모든 RIS unit cell이 반사한 신호의 coherent superposition을 관측한다.각 경로의 amplitude는 antenna와 unit cell의 gain, radiation pattern, incident energy flux, unit-cell size, wavelength, inverse propagation distance에 좌우되며, phase에는 propagation shift와 reflection shift가 포함된다.
B. 통신 모델: 결과적인 RIS-MIMO formulation은 programmable unit-cell amplitudes A_n,m과 phase shifts ϕ_n,m을 사용하며, 각 unit cell은 power p = Sdxdy를 전송한다.이 식은 RIS element가 전송 신호를 제어하는 기본 메커니즘을 정립한다.
B. 통신 모델: flat fading에서는 수신 vector가 conventional MIMO form y = Hx + n을 따르며, H는 RIS-to-receiver channel matrix이고 n은 receiver noise다.RIS system은 carrier를 modulation하고 wireless channel을 통해 신호를 radiation하는 기존 원리를 유지하면서, chain-free 및 power-efficient hardware로 UM-MIMO와 holographic MIMO application을 지원한다.
B. 통신 모델: RIS 기반 MIMO는 확립된 MIMO transmission scheme과 algorithm을 적용할 수 있으며, 기존 hardware의 cost와 heat dissipation 제약을 받는 system에 chain-free, power-efficient architecture를 제공한다.이 모델은 RIS approach가 기능적으로 conventional MIMO와 유사하지만 transmitter implementation에서는 구별된다는 점을 보여준다.

III. RIS 기반 MIMO-QAM 전송

이 절에서는 RIS 기반 QAM 변조와 MIMO 전송을 설계하고, 기존 IQ 송신기에서는 QAM이 자연스럽지만 RIS 기반 송신기에서는 어려운 이유를 다룬다. 이어서 비선형 변조를 이용한 constant-envelope QAM을 소개하고, unit-cell 응답이 위상 중심이라는 가정을 함께 언급한다.

설계 동기: RIS 기반 송신기는 QAM 변조와 MIMO 전송을 위해 설계되며, 독립적인 IQ 기저대역 신호가 반송파의 진폭과 위상을 직접 제어하는 기존 송신기와 다르다.이 절에서는 기존 RF-chain 아키텍처에서 QAM이 자연스럽지만 RIS 기반 송신기에서는 구현하기 어렵다는 점을 밝힌다.
RIS 응답 가정: RIS unit-cell 설계에서는 A_n,m = 1과 같이 진폭 응답이 거의 변하지 않는다고 가정하면서 유연한 위상 응답을 가능하게 한다.이 설계는 진폭 변동은 작게 유지하면서 넓은 위상 천이 범위를 확보하는 것을 목표로 한다.
Constant-envelope QAM: constant-envelope 제약하에서 제안하는 QAM 방식은 비선형 변조를 사용한다.이 절에서는 이 제약하의 QAM 변조를 소개하고 분석한다.

A. 기본 방법

이 방법은 시간 가변 선형 위상 응답을 사용해 RIS unit cell의 constant-envelope 한계를 극복하고, harmonic 주파수에서 QAM을 위한 독립적인 진폭 및 위상 제어를 실현한다. 이를 통해 first-order harmonic에서의 16-QAM을 포함한 RIS-based MIMO-QAM 전송이 가능해진다.

A. 기본 방법: 비선형 변조 기법은 고차 변조를 방해하고 RIS 전송률을 제한하는 constant-envelope 제약을 극복한다.unit cell의 기존 응답은 carrier-frequency 심볼에 대해 constant-envelope를 생성하므로, harmonic 기반 변조가 필요하다.
A. 기본 방법: first-order harmonic에서 16-QAM을 시연하며, 전송되는 각 bit pattern에 대해 t0와 Δϕ를 선택해 심볼을 매핑한다.이 예에서는 first-order harmonic을 f = f_c + 1/T_s로 식별하고, 매핑을 Table II에 요약한다.
A. 기본 방법: 선형 시간 가변 위상 응답은 Δϕ와 t0라는 두 자유도를 제공해 harmonic 성분의 진폭과 위상을 독립적으로 조정할 수 있게 한다.Δϕ는 harmonic 진폭을 제어하고, t0는 심볼 주기 전반에서 harmonic 위상을 제어한다.
A. 기본 방법: 그 결과 얻어진 harmonic-domain QAM 정식화는 제안한 심볼 표현을 MIMO signal model에 대입함으로써 RIS-based MIMO-QAM 전송을 가능하게 한다.각 unit cell은 시간 가변 위상 구성으로 정의된 심볼을 전송한다.

B. 빔포밍 및 이득 … 1) 위상 의존 진폭:

제안한 RIS transmitter는 constant-envelope 제약에서 high-order modulation과 빔포밍을 동시에 지원하며, RIS aperture가 커질수록 빔포밍 이득이 증가한다. QAM 설계는 실제적인 16-QAM symbol generation을 포함해 위상 의존 진폭 응답에도 강건하다.

B. 빔포밍 및 이득: RIS formulation은 constant-envelope 제약에서 high-order modulation과 빔포밍을 동시에 수행하기 위한 일반적인 baseband 표현을 제공한다.
B. 빔포밍 및 이득: RIS의 far field에 receiving antennas가 배치되고 신호가 kth receiving antenna를 향해 정렬되는 경우, free-space propagation에 대한 빔포밍을 분석한다.이 빔포밍 구성에서는 모든 unit cells가 동일한 symbol s를 전송한다.
B. 빔포밍 및 이득: 빔포밍 이득은 RIS unit cells의 개수 NM 및 unit-cell area의 square root에 비례하므로, 더 큰 aperture가 더 높은 이득을 제공한다.
IV. SYSTEM DESIGN AND ANALYSIS: 제안한 2×2 MIMO-QAM prototype은 방법을 검증하며, 설계 접근법은 임의의 MIMO size로 일반화될 수 있다고 제시된다.시스템 설계에서는 RIS hardware constraints를 다루고 transmitter와 receiver를 지정한다.
1) 위상 의존 진폭:: 실제 RIS unit cells는 진폭과 위상 응답이 결합되지만, 제안한 RIS-based QAM 방법은 이러한 phase-dependent amplitude 제약에 강건하다.Unit-cell 설계는 일반적으로 충분히 넓은 controllable phase range [39]–[41]를 유지하면서 amplitude fluctuation을 최소화한다.
1) 위상 의존 진폭:: QAM symbol 설계를 위한 구체적인 hardware 예로서 최대 fluctuation이 3 dB인 phase-dependent amplitude response를 분석한다.
1) 위상 의존 진폭:: 16-QAM symbols ‘0’, ‘2’, ‘8’, ‘10’은 circular time shifts를 통해 구현하며, ‘5’와 같은 다른 symbols는 해를 구한 phase difference와 time-delay 설계를 사용한다.이 방법은 실제로 나타나는 다양한 phase-dependent amplitude functions에 대한 QAM으로 확장된다.

2) 이산 위상 변이:

이산 DAC 제어 위상 변이는 이상적인 연속시간 RIS-QAM 파형을 구현하기 어렵게 하며, 위상 해상도와 심볼율 사이의 tradeoff를 만든다. 위상 변이 단계 수를 늘리면 이산화 왜곡이 감소하고, 기본 고조파 진폭이 이상적인 값에 가까워진다.

2) 이산 위상 변이:: 이상적으로 연속적으로 변하는 위상 응답에는 고해상도 DAC가 필요하지만, 실제 제어 신호는 이산 출력 레벨을 갖는다.QAM 심볼 설계에 사용되는 연속 위상 가정은 실제 구현에서 직접 실현되지 않는다.
2) 이산 위상 변이:: 100 MSa/s에서 q = 1000이면 최대 RIS-QAM 심볼율이 100kS/s로 제한되어 해상도–율 tradeoff를 보여준다.최대 심볼율은 DAC 샘플링율과 이산 위상 변이 단계 수 q에 의해 제한된다.
2) 이산 위상 변이:: q가 클수록 이산 위상 변이가 RIS-QAM 기저대역 심볼에 미치는 영향이 작아지며, |ea1|은 이상적인 |a1|에 빠르게 가까워진다.비교 대상은 위상 이산화 유무에 따른 1차 고조파 성분의 진폭이다.

B. 송신기 설계

송신기는 256-cell RIS를 사용하지만, 실험용 하드웨어가 두 개의 DAC만 제공하므로 2×2 MIMO-QAM 시스템을 구현한다. 두 RIS 절반이 서로 다른 stream을 전송해 기존 2×2 MIMO-QAM 신호 표현을 유지하고 공통 wireless frame structure를 가능하게 한다.

B. 송신기 설계: 구현된 시스템에서는 두 개의 DAC가 256-cell RIS를 제어해 2×2 MIMO-QAM 송신기를 구성하며, 전용 DAC를 사용하면 256개 unit cell을 모두 독립적으로 제어할 수 있다.RIS의 크기는 N = 32 및 M = 8이며, 이에 따라 unit cell은 256개다.
B. 송신기 설계: RIS는 빨간색 절반과 주황색 절반으로 나뉘며, 각 절반은 두 bit stream 중 하나를 수신 안테나로 전송한다.이 분할은 Fig. 8의 RIS 기반 2×2 MIMO-QAM system diagram을 구성하는 기반이 된다.
B. 송신기 설계: 네 개의 channel coefficient는 각 RIS 절반에서 각 수신 안테나로 연결되는 링크를 나타내며, 빨간색 절반-to-Rx1, 빨간색 절반-to-Rx2, 주황색 절반-to-Rx1, 주황색 절반-to-Rx2 경로를 포괄한다.이 coefficient들은 두 RIS 절반과 두 수신 안테나가 사용하는 channel을 지정한다.
B. 송신기 설계: RIS 기반 2×2 MIMO-QAM 신호 표현은 기존 MIMO-QAM과 일치하므로 송신기는 공통 wireless frame structure를 사용한다.frame structure에는 synchronization이 포함되며, 이는 Fig. 9의 wireless frame diagram에 나타나 있다.

C. 수신기 설계 · D. BER 성능

수신기는 oversampling, FFT 기반 harmonic extraction, synchronization, channel estimation, detection, demodulation을 통해 RIS 기반 2×2 MIMO-QAM 심볼을 복원한다. 일정한 wireless channel에서 RIS 기반 시스템은 동일한 SNR의 conventional MIMO와 동일한 BER 성능을 보이며, AWGN에서 16-QAM의 theoretical BER이 도출된다.

C. 수신기 설계: Least-squares channel estimation과 zero-forcing equalization은 구현이 간단해 RIS 기반 MIMO-QAM 전송을 신속하게 검증할 수 있으므로 선택된다.
D. BER 성능: 제안하는 RIS 기반 MIMO 시스템은 동일한 SNR에서 conventional MIMO와 동일한 BER 성능을 보인다. 두 시스템이 본질적인 전송 원리와 수학적 표현을 공유하기 때문이다.
D. BER 성능: BER 분석은 일정한 2×2 wireless channel을 가정하며, 이는 theoretical BER과 measured BER을 비교하는 stationary indoor prototype 측정 조건과 일치한다.측정 중 people, RIS 기반 transmitter, conventional receiver는 정지 상태를 유지하므로 channel은 근사적으로 변하지 않는다.
D. BER 성능: Zero-forcing equalization으로 두 stream을 복원한 뒤, standard 16-QAM Gray-coded 심볼을 AWGN model에서 Euclidean distance를 사용해 demodulation한다.결과 stream BER은 complementary error function인 erfc(·)를 사용해 theoretical하게 표현된다.
D. BER 성능: Theoretical BER 식은 exact expression의 first term과 second term만 유지하는 approximate Gray-coded 16-QAM AWGN formula를 사용한다.prototype의 total BER을 포함한 이러한 theoretical BER은 변하지 않는 channel 가정에 의존한다.

V. 구현 및 측정 … 9) SDR 플랫폼:

프로토타입은 RIS, 제어, RF, PXIe, SDR, computing 및 안테나 플랫폼을 통합해 실시간 over-the-air RIS 기반 2×2 MIMO-QAM 전송을 구현한다. 하드웨어는 programmable phase control, digital-to-analog waveform generation, synchronized RF operation 및 two-channel baseband reception을 구현해 실제 측정을 지원한다.

V. 구현 및 측정: 실시간 over-the-air 실험을 통해 제안한 RIS 기반 2×2 MIMO-QAM architecture의 실현 가능성을 입증한다.프로토타입 구성에는 RIS, control circuit board, RF signal generator, PXIe modules, SDR platform, host computer 및 안테나가 포함된다.
1) RIS:: RIS는 256개의 varactor-diode unit cell을 사용하며, control voltage는 4.25 GHz에서 0 V부터 21 V까지 약 450°의 연속적인 phase manipulation을 제공한다.Unit cell은 N = 32 및 M = 8로 배열되며, 각각 100% efficiency를 가정할 때 약 9 dBi의 simulated gain을 갖는다.
2) Control Circuit Board:: Control circuit board는 DAC와 RIS를 연결하고, 두 DAC output을 증폭해 unit cell의 left 및 right half를 제어한다.고정 voltage amplification gain을 통해 DAC가 생성한 control signal이 programmable metasurface를 구동할 수 있다.
3) Central Controller:: Central controller는 두 source bitstream, digital baseband, frame structure 및 peripheral control을 위한 host 및 FPGA program을 개발한다.PXIe chassis는 central controller와 peripheral module 사이의 data 및 control interface를 제공한다.
5) FPGA+DAC Module:: 두 개의 16-bit, 100 MSps DAC는 완전한 RIS 기반 2×2 MIMO-QAM digital frame을 control circuit board용 analog voltage sequence로 변환한다.FPGA+DAC module은 RIS modulation hardware를 구동하는 두 control input을 제공한다.
6) DC Power Supply:: DC power supply는 control-board voltage amplifier에 ±12 V를 제공하며, shared 10 MHz reference는 FPGA, DAC 및 RF signal generator를 동기화한다.이들 module은 함께 프로토타입 플랫폼에 전원과 timing coordination을 제공한다.
8) RF Signal Generator:: 4.25 GHz single-tone RF generator는 horn antenna를 통해 RIS를 조사하며, output power를 수동으로 변경해 서로 다른 transmission-power 및 SNR 조건에서 BER measurements를 수행할 수 있다.실제 응용에서는 RF signal generator 대신 저비용 single-tone RF source가 carrier를 제공할 수 있다.
9) SDR Platform:: SDR platform은 두 개의 receiving channels를 사용해 수신 RF signal을 baseband로 downmix하고 digital sample을 host computer로 전송한다.두 receiving antenna는 각각 7.4 dBi gain을 갖는 single-polarized dipole이다.

10) Host Computer: · B. 실험 결과 · VI. 결론

프로토타입은 실시간 RIS 기반 2×2 MIMO 16-QAM over-the-air 전송을 구현했으며, RIS와 control board에서 약 0.7 W를 소비하면서 20 Mbps를 달성했다. 측정 BER은 이론적 성능과 밀접하게 일치했고, discrete phase-shift quantization에서도 견고성을 유지했다.

10) Host Computer:: Host computer는 2×2 MIMO channel estimation, detection, QAM demodulation, constellation display, BER calculation을 수행한다.이러한 processing functions는 수신 bitstream의 복원과 평가를 지원한다.
B. 실험 결과: Indoor over-the-air 실험에서는 RIS와 두 receiving antenna 사이에 약 1.5 m의 거리를 두었으며, transmitted bitstream에 대해 명확하게 복원된 constellation을 얻었다.프로토타입 시스템과 복원된 constellation diagram은 Fig. 11에 제시했다.
B. 실험 결과: 두 stream의 measured BER curve는 테스트한 SNR 범위 전반에서 exact theoretical BER curve와 잘 일치했다.비교 결과는 Fig. 12에 제시했으며, BER-curve abscissa에는 Rx antenna 1에 연결된 receiving chain의 measured SNR을 사용했다.
B. 실험 결과: q = 40과 q = 10의 BER curve는 거의 일치하여, 2.5 MSps symbol rate에서 discrete phase-shift step에 대한 견고성을 검증했다.기본 설정은 q = 40이며, q = 10은 더 discretized된 phase shift를 나타낸다. 비교 결과는 Fig. 13에 제시했다.
VI. 결론: 이 논문은 phase-dependent amplitude와 discrete phase shift를 포함한 RIS hardware constraints 및 그 system-design impacts를 분석하면서 RIS 기반 MIMO-QAM 전송을 정식화했다.또한 구현된 prototype과 함께 RIS를 통한 high-order modulation 및 MIMO transmission을 위한 기본 method와 transceiver design을 제시했다.
B. 실험 결과: 실시간 RIS 기반 2×2 MIMO 16-QAM over-the-air 전송에서 20 Mbps data rate와 약 0.7 W power consumption을 달성했다.프로토타입은 16-QAM과 2×2 MIMO transmission을 구현했으며, data-rate 수치에서는 synchronization과 pilot subframe에 따른 overhead를 제외했다.

APPENDIX A

Appendix A에서는 입사 carrier, unit-cell reflection, propagation, antenna reception으로부터 수신 electric field와 instantaneous signal power를 유도해 Theorem 1을 증명한다. 유도 과정은 energy conservation과 모든 RIS unit cell에 걸친 coherent superposition을 결합한다.

Theorem 1 증명: 증명은 각 unit cell Un,m에서 입사 single-tone carrier power와 electric field를 표현하는 것에서 시작한다.Electric-field expression은 를 참조한다.
Theorem 1 증명: Energy conservation은 각 unit cell의 incident power, reflection coefficient Γn,m = An,mejϕn,m, total reflected-signal power를 연결한다.Reflection coefficient의 amplitude와 phase는 (1)의 정의를 따른다.
Theorem 1 증명: 증명은 propagation, reflection phase, receiving-antenna aperture Ar을 이용해 unit cell Un,m에서 antenna k가 수신하는 reflected electric field를 유도한다.Propagation 및 reflection 항이 수신 component의 phase alteration을 결정한다.
Theorem 1 증명: Antenna k에서의 total received field는 모든 unit cell에서 반사된 신호의 superposition이며, 이로부터 instantaneous received power와 received signal을 도출한다.최종 power expression은 receiving-antenna aperture와 앞서 유도한 field 관계식을 사용한다.

부록 B

부록 B에서는 주기 신호를 지수 푸리에 급수로 전개하고 Δϕ−2lπ가 0인지에 따라 두 경우를 평가하여 정리 2를 증명한다. 이어 정리의 기저대역 심볼과 (51)의 신호 사이의 원형 시간 이동을 반영한다.

증명은 주기 신호를 지수 푸리에 급수 전개로 나타내는 것에서 시작한다.
푸리에 급수 표현은 Δϕ−2lπ=0인 경우와 Δϕ−2lπ≠0인 경우로 나누어 평가한다.
두 경우의 결과를 결합하고 원형 이동 t0을 반영하기 위해 푸리에 변환의 시간 지연 특성을 적용하면 정리 2를 얻는다.정리 2의 기저대역 심볼은 (51)에 정의된 신호에 비해 원형 시간 이동 t0을 갖는다.