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Double-IRS Assisted Multi-User MIMO: Cooperative Passive Beamforming Design

Beixiong Zheng, Changsheng You, Rui Zhang

arXiv:2008.13701v5cs.ITcs.ET

TL;DR

기존 IRS 연구는 inter-IRS signal reflection을 대부분 고려하지 않아 cooperative multi-IRS network의 잠재력을 충분히 규명하지 못했다. 본 논문은 base-station receive beamforming과 두 IRS의 cooperative passive beamforming을 공동 설계해 single-IRS system 대비 우수한 maximum SNR과 multi-user effective channel rank를 보인다.

  • 문제

    기존 IRS 연구는 inter-IRS signal reflection을 대부분 고려하지 않아 cooperative distributed-IRS 성능을 충분히 규명하지 못했다.

  • 방법

    본 논문은 users의 minimum SINR을 최대화하기 위해 base-station receive beamforming과 두 distributed IRS의 cooperative passive beamforming을 공동 최적화한다.

  • 결과

    double-IRS cooperative system은 maximum SNR과 multi-user effective channel rank에서 single-IRS baseline보다 우수하며, 시뮬레이션을 통해 상당한 성능 향상을 확인했다.

  • 핵심 요점 및 한계

    Cooperative double-IRS beamforming은 multi-user MIMO system에서 conventional single-IRS design보다 실용적인 성능 이점을 제공한다.

Abstract

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Intelligent reflecting surface (IRS) has emerged as an enabling technology to achieve smart and reconfigurable wireless communication environment cost-effectively. Prior works on IRS mainly consider its passive beamforming design and performance optimization without the inter-IRS signal reflection, which thus do not unveil the full potential of multi-IRS assisted wireless networks. In this paper, we study a double-IRS assisted multi-user communication system with the \emph{cooperative} passive beamforming design that captures the multiplicative beamforming gain from the inter-IRS channel. Under the general channel setup with the co-existence of both double- and single-reflection links, we jointly optimize the (active) receive beamforming at the base station (BS) and the cooperative (passive) reflect beamforming at the two distributed IRSs (deployed near the BS and users, respectively) to maximize the minimum signal-to-interference-plus-noise ratio (SINR) of all users. Moreover, for the single-user and multi-user setups, we analytically show the superior performance of the double-IRS cooperative system over the conventional single-IRS system in terms of the maximum signal-to-noise ratio (SNR) and multi-user effective channel rank, respectively. Simulation results validate our analytical results and show the practical advantages of the proposed double-IRS system with cooperative passive beamforming designs.

I. 서론

이 논문은 double- 및 single-reflection link가 모두 존재하는 cooperative double-IRS-assisted multi-user MIMO를 연구하여 독립적으로 설계된 multi-IRS beamforming의 한계를 다룬다. BS receive beamforming과 IRS reflect beamforming을 공동 최적화하고, single-user SNR 및 multi-user channel rank에서의 이득을 입증하며, 시뮬레이션을 통해 향상된 rate 성능을 검증한다.

  • 동기: inter-IRS channel이 성능에 영향을 줄 수 있으므로 Cooperative beamforming이 필요하며, 공동 설계된 IRS는 multiplicative gain을 활용하고 interference를 완화한다.여러 IRS가 배치되면 독립적인 single-reflection 설계는 일반적으로 더 이상 최적이 아니다.
  • 시스템 및 목적: 이 논문은 BS와 user 근처에 IRS를 배치한 double-IRS-assisted multi-user MIMO를 고려하고, 공존하는 reflection link하에서 minimum uplink SINR을 최대화하도록 BS receive beamforming과 두 IRS의 passive beamforming을 공동 최적화한다.정식화에는 double- 및 single-reflection link가 모두 포함되며, multi-antenna BS를 통해 여러 user를 지원한다.
  • 알고리즘 및 검증: Alternating optimization을 통해 효율적인 joint active/passive beamforming 알고리즘을 설계하며, single-user case에는 closed-form block updates를, multi-user max-min SINR에는 SDR과 bisection을 사용한다.시뮬레이션은 이론을 뒷받침하고 다양한 system setting에서 single-IRS baseline 대비 유의미한 rate gain을 보인다.
  • Multi-user 기여: multi-user communication에서 cooperative double-IRS 재구성은 일반적으로 더 높은 channel rank와 spatial multiplexing을 달성하여 single-IRS baseline 대비 max-min SINR/rate를 향상한다.비교는 general multi-user setup에 적용되며, 두 reflection type하에서 passive beamforming gain과 spatial multiplexing의 균형을 맞추는 이점을 보여준다.

II. 시스템 모델 및 문제 정식화 · A. Double-IRS Assisted Multi-User MIMO

이 절에서는 사용자가 있는 곳과 BS 인근에 IRS를 배치하여 cooperative double- 및 single-reflection link를 통해 차단된 사용자를 지원하는 fully passive double-IRS uplink MIMO 시스템을 모델링한다. 또한 unit-modulus reflection, 가용한 cascaded CSI, quasi-static flat fading을 가정하여 effective cascaded channel과 수신 신호 모델을 정식화한다.

  • A. Double-IRS Assisted Multi-User MIMO: 시스템은 K개의 single-antenna user, N개 안테나를 갖는 BS, 그리고 uplink 전송을 cooperative하게 지원하는 두 개의 distributed IRS로 구성된다.IRS 1과 IRS 2는 각각 users와 BS 인근에 배치하여 관련 path loss를 줄인다.
  • A. Double-IRS Assisted Multi-User MIMO: 직접 user–BS link가 심하게 차단되면, 적절히 배치된 두 IRS가 reflection link를 통해 users를 지원한다.이러한 차단 link 시나리오는 실내 벽과 같은 장애물에서 동기가 부여된다.
  • A. Double-IRS Assisted Multi-User MIMO: 두 IRS는 M1과 M2개의 passive subsurface로 구성되며, M1 + M2 = M이다. 각 subsurface는 인접한 reflecting element를 하나의 공통 phase shift로 그룹화한다.이러한 그룹화는 높은 aperture gain을 제공하면서 channel-estimation 및 reflection-optimization 비용을 줄인다. 후자는 일반적으로 subsurface 수에 따라 증가한다,.
  • A. Double-IRS Assisted Multi-User MIMO: user k에서 effective BS channel은 cooperative path user k→IRS 1→IRS 2→BS와 두 single-reflection path를 결합한다.이는 G2Φ2DΦ1u1,k + R2,kθ2 + R1,kθ1로 나타내며, Φμ는 diagonal reflection matrix이고 R1,k, R2,k는 cascaded channel이다.
  • A. Double-IRS Assisted Multi-User MIMO: IRS는 fully passive이며, 의 receive-RF-chain-equipped IRS와 다르다. 따라서 power consumption과 implementation cost는 줄어들지만 direct separate-CSI acquisition은 불가능하다.그럼에도 cascaded CSI만으로 두 passive beamforming vector를 jointly design하기에 충분하다.
  • A. Double-IRS Assisted Multi-User MIMO: 모델은 BS가 cascaded channel을 알고 있으며 모든 channel이 quasi-static flat fading을 따른다고 가정한다. 각 channel 내에서는 channel이 거의 일정하게 유지된다.uplink 전송 중 users는 Pk의 power로 data symbol을 전송하고, BS는 covariance σ2I를 갖는 AWGN을 수신한 뒤 SINR decoding 전에 linear receive processing을 적용한다.

B. 문제 정식화 · C. 기존 Single-IRS 지원 Multi-User MIMO 기준 시스템

이 논문은 unit-modulus 제약하에서 BS 수신 beamforming과 두 distributed IRS의 cooperative passive beamforming을 공동 설계하여 최소 사용자 SINR을 최대화한다. 또한 이 non-convex double-IRS 문제를 BS 또는 사용자 근처에 배치된 centralized single-IRS 시스템과 비교한다.

  • B. 문제 정식화: 목적은 BS 수신 beamforming과 두 IRS의 cooperative passive reflect beamforming을 공동 최적화하여 모든 사용자 중 최소 SINR을 최대화하는 것이다.반사 subsurface는 unit-modulus 제약을 만족해야 한다.
  • B. 문제 정식화: 목적 함수와 unit-modulus 제약이 non-convex이고, 공유되는 IRS beamformer가 간섭을 통해 모든 사용자를 결합하므로 최적화가 어렵다.간섭은 각 사용자의 수신 beamformer와 공통으로 공유되는 cooperative reflect beamformer 모두에 의존한다.
  • B. 문제 정식화: 논문은 먼저 single-user 경우에 alternating optimization을 적용한 뒤 이를 multi-user 경우로 일반화한다.이 정식화는 non-convexity 때문에 표준적인 최적 방법으로 다루기 어렵다.
  • C. 기존 Single-IRS 지원 Multi-User MIMO 기준 시스템: 두 conventional baseline은 총 M = M1 + M2개의 subsurface를 BS 또는 사용자 클러스터 근처에 배치된 하나의 centralized IRS에 모두 배치한다.이 baseline은 두 cooperative IRS에 subsurface를 분산 배치함으로써 얻는 이득을 평가한다.
  • C. 기존 Single-IRS 지원 Multi-User MIMO 기준 시스템: BS 측 baseline에서는 single IRS의 reflection coefficient를 사용하여 유효 사용자-to-BS 채널을 ¯h_k = ¯GΦ¯u_k = ¯R_kθ로 모델링한다.¯R_k는 IRS phase shift가 없는 cascaded 사용자 k→IRS→BS 채널을 나타내며, user-side baseline도 유사하게 정의된다.
  • C. 기존 Single-IRS 지원 Multi-User MIMO 기준 시스템: single-IRS baseline은 M1 = 0 또는 M2 = 0인 double-IRS 시스템의 특수한 경우이며, 공동 beamforming 설계에는 cascaded CSI로 충분하다.이들의 SINR은 해당 cascaded channel model에 따른 선형 BS 수신 beamformer를 사용한다.
  • C. 기존 Single-IRS 지원 Multi-User MIMO 기준 시스템: 비교는 BS 근처에 배치된 single IRS와 double-IRS cooperative system에 초점을 맞추며, symmetric channel에서는 user-side baseline에 대해서도 유사한 결과가 성립한다.두 baseline 구성은 Fig. 2에 도시되어 있다.

III. 단일 사용자 시스템 · A. Cooperative Passive Beamforming Design을 위한 AO Algorithm

단일 사용자 경우, 논문은 사용자 간 간섭이 없는 receive-SNR maximization 문제로 joint design을 단순화하고, 결합된 IRS 및 BS beamformer를 위한 alternating-optimization algorithm을 개발한다. Closed-form update는 double- 및 single-reflection link를 coherent하게 결합하며, 낮은 복잡도와 수렴을 보장한다.

  • III. 단일 사용자 시스템: 단일 사용자 설정에서는 사용자 간 간섭을 제거하므로 orthogonal multiple access 시나리오를 포괄하며, joint problem은 unit-modulus IRS constraint하에서 BS receive SNR을 maximization하는 문제로 축소된다.이 절에서는 user index를 생략하며, BS receive beamforming은 두 IRS reflect beamformer와 여전히 결합되어 있다.
  • A. Cooperative Passive Beamforming Design을 위한 AO Algorithm: 제안하는 AO algorithm [15]은 BS receive beamforming과 두 distributed IRS reflect beamformer를 convergence할 때까지 번갈아 최적화한다.이 방법은 다른 component를 고정한 채 하나의 component를 최적화하여 non-convex unit-modulus constraint와 IRS beamformer 간 coupling을 처리한다.
  • A. Cooperative Passive Beamforming Design을 위한 AO Algorithm: BS와 IRS 1 beamformer를 고정하면, IRS 2는 composite double-reflection 및 IRS-2 single-reflection signal을 IRS-1 single-reflection signal과 정렬하여 coherent combining을 수행한다.이 update는 resulting unit-modulus subproblem을 closed form으로 해결한다.
  • A. Cooperative Passive Beamforming Design을 위한 AO Algorithm: IRS 2와 BS beamformer를 고정하면, IRS 1도 자신의 double-reflection 및 IRS-1 single-reflection signal을 IRS-2 single-reflection signal과 유사하게 정렬한다.그 결과의 cooperative design은 double-reflection link와 두 single-reflection link 사이에서 passive beamforming gain의 균형을 맞춘다.
  • A. Cooperative Passive Beamforming Design을 위한 AO Algorithm: BS receive update는 maximum-ratio combining을 사용하며, 이는 single-user problem에서 최적의 receive beamforming solution이다.모든 receive 및 reflect beamforming update는 closed form으로 구해지므로 AO procedure는 실용성이 높다.
  • A. Cooperative Passive Beamforming Design을 위한 AO Algorithm: O(I0(N + M)) complexity로 인해 AO algorithm은 낮은 복잡도를 가지며, 여기서 I0는 iteration count다.이 complexity는 BS와 두 IRS beamforming vector에 대한 closed-form update에서 비롯된다.
  • A. Cooperative Passive Beamforming Design을 위한 AO Algorithm: 각 exact subproblem update가 objective를 감소시키지 않고, objective가 finite user transmit power에 의해 위에서 bounded되므로 AO algorithm은 수렴을 보장한다.따라서 objective sequence는 monotonic하며 upper-bounded다.

B. 단일 IRS와의 비교

대칭 배치와 가정 A1하에서 cooperative double-IRS 시스템은 double- 및 single-reflection link를 coherent하게 결합함으로써 single-IRS baseline 이상인 maximum SNR을 달성한다. 이 우수성은 임의의 channel과 IRS 크기에 대해 성립하며, 기존의 double-reflection-only 설정 으로 결과를 확장한다.

  • 단일 IRS와의 비교: 비교에서는 대칭적인 IRS 배치, 두 single-reflection link의 동일한 product-distance path loss, 그리고 channel relation R̄ = [R1, R2]를 가정한다.중앙집중형 single-IRS baseline을 구성하기 위해 IRS 1을 IRS 2의 위치로 이동한다.
  • 단일 IRS와의 비교: 공통 phase shift는 double- 및 single-reflection 기여를 정렬하며, receive 및 initial reflect beamforming으로 single-IRS optimum을 유지한다.정렬 phase는 φ = ∠(a2/a1)이며, equality는 double-reflection link가 소멸할 때에만 성립한다.
  • 단일 IRS와의 비교: 제안 설정은 multi-antenna BS를 사용하고 double- 및 single-reflection link의 공존을 허용하므로 보다 일반적이다.반면 는 single-antenna BS에서 double-reflection link만 고려한다.
  • 단일 IRS와의 비교: 제안하는 cooperative double-IRS 시스템은 임의의 channel과 IRS element 또는 subsurface 개수에 대해 maximum SNR에서 single-IRS baseline보다 이론적으로 우수하다.이 결과는 double- 및 single-reflection link를 coherent하게 결합함으로써 도출된다.

IV. 다중 사용자 시스템 · A. SDR 및 Bisection 기반 AO Algorithm

일반적인 다중 사용자 double-IRS cooperative system을 위해, 이 논문은 문제 (P1)의 효율적인 sub-optimal algorithm을 개발하고 conventional single-IRS baseline과 multi-user effective channel rank를 비교한다. 이 algorithm은 minimum user SINR를 최대화하기 위해 SDR 및 bisection을 이용한 cooperative reflect-beamforming 최적화와 receive-beamforming 설계를 교대로 수행한다.

  • IV. 다중 사용자 시스템: 다중 사용자 연구는 minimum SINR를 최대화하기 위해 두 개의 공통 reflect-beamforming vector와 사용자별 receive beamformer를 공동 설계하여 문제 (P1)을 다룬다.두 IRS vector는 모든 사용자가 공유하며, receive beamformer는 서로 다른 사용자 channel gain의 균형을 맞춘다.
  • A. SDR 및 Bisection 기반 AO Algorithm: 제안하는 효율적인 sub-optimal solution은 semidefinite relaxation과 bisection을 사용해 alternating-optimization framework를 다중 사용자 환경으로 확장한다.이 접근법은 unit-modulus constraint와 두 reflect-beamforming vector 사이의 coupling으로 발생하는 non-convexity를 처리한다.
  • IV. 다중 사용자 시스템: 다중 사용자 절에서는 multi-user effective channel rank, 즉 spatial multiplexing gain을 사용해 double-IRS cooperative system을 conventional single-IRS baseline과 비교한다.이 비교의 목적은 각 system의 다중 사용자 spatial multiplexing capability를 평가하는 데 있다.
  • A. SDR 및 Bisection 기반 AO Algorithm: 하나의 reflect-beamforming vector를 고정하면, 다른 vector는 rank-one constraint를 unit diagonal constraint를 갖는 SDR problem으로 완화하여 최적화한다.θ1을 고정하고 θ2를 최적화할 때와 그 반대의 경우에 동일한 SDR 기반 변환을 적용한다.
  • A. SDR 및 Bisection 기반 AO Algorithm: 주어진 auxiliary SINR target에 대해 완화된 reflect-beamforming problem은 quasi-convex feasibility check가 되며, 이는 bisection과 기존 convex solver로 풀 수 있는 convex semidefinite program이다.SDR은 higher-rank solution을 생성할 수 있으므로, Gaussian randomization과 같은 방법으로 high-quality rank-one solution을 복원한다.
  • A. SDR 및 Bisection 기반 AO Algorithm: 두 IRS vector를 고정하면 문제 (P1)은 receive-beamforming design을 통해 각 사용자의 SINR를 최대화하는 K user subproblems로 분해된다.이 단계에서는 각 사용자의 resulting effective channel이 고정된다.
  • A. SDR 및 Bisection 기반 AO Algorithm: BS receive-beamforming update는 effective user-BS channel matrix를 사용하며, sub-optimal zero-forcing 또는 optimal minimum mean squared error criterion에 따라 수행할 수 있다.이 criterion들은 다중 사용자 interference를 처리하는 데 사용된다.

P HHH

Algorithm 1은 두 IRS phase vector와 BS receive beamforming을 교대로 최적화해 max-min SINR 문제를 해결한다. 각 iteration에서 IRS subproblem에는 SDR과 bisection을, receive beamforming에는 ZF/MMSE 설계를 사용하며, 수렴하거나 사전 설정된 iteration limit에 도달하면 중단한다.

  • 제안하는 AO algorithm: Algorithm 1은 max-min SINR을 목표로 각 iteration의 해를 다음 초기값으로 사용하면서 subproblem (P3.1), (P3.4), (P4)를 교대로 해결한다.IRS subproblem은 SDR과 bisection으로 처리하고, receive-beamforming subproblem에는 ZF/MMSE 설계를 사용한다.
  • 범위와 한계: Closed-form single-user receive-beamforming update는 일반적인 multi-user algorithm을 적용하는 것보다 효율적이지만, receive beamforming과 cooperative reflection을 jointly optimizing하는 것은 일반적으로 어렵다.ZF/MMSE beamforming을 cooperative reflect-beamforming objective에 대입하면 해당 objective가 더 복잡해지므로 이 대안은 고려하지 않는다.
  • 초기화: Algorithm은 alternating update를 시작하기 전에 두 IRS phase vector, receive-beamforming matrix, iteration counter를 초기화한다.초기화는 θ1 := θ(0) 1, θ2 := θ(0) 2, W := W (0), i = 0이다.
  • 종료 기준: Fractional max-min SINR increase가 ξ > 0 아래로 떨어지거나 iteration count가 I1에 도달하면 iteration을 종료한다.이는 수렴 기반 또는 사전 설정 iteration 기반의 stopping rule을 제공한다.
  • Complexity: 전체 algorithm의 complexity는 O(I1((M1^4.5 + M2^4.5)log(1/ǫ) + N^3))이며, SDR/bisection IRS update와 ZF/MMSE receive-beamforming design을 결합한다.여기서 ǫ는 bisection-search accuracy를, I1은 수렴에 필요한 iteration 수를 나타낸다.

B. 단일 IRS와의 비교

Double-IRS cooperative system은 일반적으로 single-IRS baseline보다 더 높은 multi-user effective channel rank를 달성하며, gain은 최소 min(rank(G1), rank(U1))이다. 이러한 더 높은 rank는 더 많은 사용자와 더 높은 max-min SINR 또는 rate를 가능하게 하지만, 하나의 common phase shift로는 모든 사용자의 모든 link를 동시에 정렬할 수 없다.

  • B. 단일 IRS와의 비교: 단일 사용자 SINR 우위 결과는 일반적인 multi-user system으로 확장되지 않는다. 하나의 common phase shift로는 모든 사용자의 double- 및 single-reflection link를 정렬할 수 없기 때문이다.따라서 비교의 초점은 모든 사용자에서 더 높은 SINR을 보장하는 것이 아니라 multi-user effective channel rank에 맞춰진다.
  • B. 단일 IRS와의 비교: rank(H)=K이면 zero-forcing receive beamforming이 multi-user interference를 완전히 완화하므로, minimum SINR은 user transmit power에 따라 단조롭게 증가한다.사용자 transmit power가 동일하면 충분히 높은 transmit power를 사용하여 임의의 유한한 target SINR을 달성할 수 있다.
  • B. 단일 IRS와의 비교: rank(H)<K이면 자유도가 부족하여 interference를 완전히 완화할 수 없으므로, user transmit power가 증가해도 max-min SINR은 포화된다.이 경우 최적의 MMSE 기반 receive beamforming을 사용하더라도 system은 interference-limited 상태로 남을 수 있다.
  • B. 단일 IRS와의 비교: Proposition 2는 Double-IRS cooperative system이 일반적으로 single-IRS baseline보다 더 높은 effective channel rank를 가지며, gain이 최소 min(rank(G1), rank(U1))임을 보인다.비교에서는 channel-rank assumption A2를 가정하고, IRS 2에 배치된 하나의 centralized IRS를 baseline으로 사용한다.
  • B. 단일 IRS와의 비교: 더 높은 channel rank와 그에 따른 더 큰 spatial multiplexing gain은 single-IRS baseline보다 더 많은 사용자를 지원하고 더 높은 max-min SINR 또는 rate를 달성할 수 있게 한다.이러한 성능 이점은 Section V의 simulation을 통해 확인될 것으로 예상되는 결과로 제시된다.

V. 시뮬레이션 결과 · A. 단일 사용자 시스템

시뮬레이션 결과, cooperative double-IRS beamforming은 single-IRS baseline을 일관되게 능가하며, 균형 잡힌 IRS 할당, 더 강한 LoS 조건, 더 큰 surface에서 그 이득이 증폭된다. 제안한 AO method는 double- 및 single-reflection 이득의 균형을 유지하면서 SDR 성능에 근접한다.

  • V. 시뮬레이션 결과: 평가는 동일한 user power와 공통 simulation settings에서 cooperative double-IRS와 centralized single-IRS baseline의 max-min achievable rate를 비교한다.baseline에서는 centralized IRS를 IRS 2의 위치에 배치하고, double-IRS 설계에서는 single-user case에 joint codebook search와 MRC를 사용한다.
  • V. 시뮬레이션 결과: DFT codebook search의 complexity는 single-user system에서 O(M1M2(N+M))이며, multi-user system에서는 SDR-based Algorithm 1보다 much lower-complexity다.또한 Algorithm 1의 초기화에 사용할 수 있어, simulation에서 작은 I1로 빠른 convergence를 달성한다.
  • A. 단일 사용자 시스템: 시뮬레이션은 N = 5인 single-user case, 10 dB LoS-dominant nearby link, 그리고 서로 멀리 떨어진 link와 inter-IRS link에서 κ-controlled Rician fading을 사용한다.수렴 성능을 보장하기 위해 AO iteration count는 I0 = 100으로 설정한다.
  • A. 단일 사용자 시스템: 제안한 AO algorithm은 어느 initialization에서든 SDR performance로 수렴하며, optimization 전에는 single-IRS initialization이 DFT initialization보다 더 우수하다.optimal MRC를 적용한 SDR은 near-optimal이지만 complexity가 상대적으로 높다.
  • A. 단일 사용자 시스템: κ가 증가하면 두 system 모두 성능이 향상되지만, high-Rician-factor channel이 두 reflection path에서 큰 이득을 활용하므로 double-IRS advantage가 widening된다.높은 κ에서는 double-IRS system이 single-IRS baseline보다 훨씬 더 큰 passive beamforming gain을 얻는다.

B. 다중 사용자 시스템

다중 사용자 설정에서 cooperative double-IRS beamforming은 더 높은 effective channel rank, 더 강한 max-min rate, 그리고 사용자 증가에 따른 더 완만한 성능 저하를 제공해 DFT 초기화와 기존 single-IRS 운용보다 우수하다.

  • B. 다중 사용자 시스템: 네 번의 반복 후 Algorithm 1은 특히 사용자 송신 전력이 낮을 때 DFT 기반 codebook search를 크게 능가한다.두 방법 모두 ZF 또는 MMSE receive beamformer를 사용해 비교하며, noise가 무시할 수 있을 정도로 작아지는 고전력 영역에서는 두 방법의 ZF 기반 rate가 MMSE 성능에 수렴한다.
  • B. 다중 사용자 시스템: K = 5일 때 double-IRS channel은 rank(H) = K를 가지며 모든 사용자를 지원하는 반면, single-IRS baseline은 rank(H) = 2 < K이고 송신 전력에 따라 rate가 포화된다.single-IRS의 포화는 다중 사용자 간 interference를 완전히 완화하기에 spatial degrees of freedom이 부족하기 때문에 발생하며, distributed double-IRS system의 rate는 전력이 증가해도 계속 상승한다.
  • B. 다중 사용자 시스템: K가 증가할수록 double-IRS system은 single-IRS baseline보다 훨씬 높은 max-min rates와 더 작은 rate degradation을 달성하며, 특히 K > 2에서 그 차이가 두드러진다.K ≤ 2에서는 두 시스템 모두 passive beamforming을 통해 높은 rates를 달성하지만, 사용자 수가 2를 초과하면 single-IRS channel은 rank-deficient 상태가 되어 interference의 제한을 받는 반면 distributed IRSs는 spatial multiplexing을 유지한다.
  • B. 다중 사용자 시스템: P = 30 dBm에서 두 시스템 모두 K ≤ 2일 때 우수한 성능을 보이지만, effective channel rank가 deficient한 경우에는 일반적으로 MMSE reception이 ZF보다 우수하다.이 비교는 사용자 수가 증가할 때 channel-rank 및 spatial-multiplexing 효과를 분석한다.

VI. 결론

이 논문은 이중 반사 링크와 단일 반사 링크가 공존하는 환경에서 cooperative passive beamforming을 적용한 double-IRS assisted multi-user MIMO 시스템을 제안한다. 모든 사용자의 최소 SINR을 최대화하도록 수신 beamforming과 cooperative reflect beamforming을 공동 최적화하며, 단일 IRS 기준 시스템 대비 이점을 해석적·수치적으로 입증한다.

  • VI. 결론: 제안 시스템은 이중 반사 링크와 단일 반사 링크를 모두 포함하는 일반적인 채널 환경에서 cooperative passive beamforming 이득을 포착한다.
  • VI. 결론: 이 연구는 모든 사용자 중 최소 SINR을 최대화하기 위한 수신 beamforming과 cooperative reflect beamforming의 공동 최적화 문제를 정식화하고 해결한다.
  • VI. 결론: double-IRS cooperative 시스템은 maximum SNR과 multi-user effective channel rank에서 기존 single-IRS 기준 시스템보다 우수하다.이러한 이점은 각각 single-user 환경과 multi-user 환경에 대해 해석적으로 확립된다.
  • VI. 결론: 시뮬레이션 결과는 다양한 시스템 환경에서 제안된 cooperative reflect beamforming 설계가 기존 single-IRS 기준 시스템 대비 상당한 성능 이득을 제공함을 보여준다.

부록

부록에서는 지리적으로 분리되고 통계적으로 독립적인 링크를 가정하여 double-IRS cooperative system과 single-IRS baseline의 channel-rank 식을 도출한다. Full-rank IRS reflection matrix는 rank를 보존하지만, 공유 channel factor로 인해 double-reflection 및 single-reflection 성분은 일반적으로 dependent하다. 도출된 식을 비교하여 (52)를 확립한다.

  • Double-IRS cooperative system: 지리적으로 분리된 노드에서 independent component channel은 double-reflection link에 대해 rank(H_d) = min(rank(G_2), rank(D), rank(U_1))를 제공한다.Double-reflection channel은 G_2DU_1로 표현되며, 그 rank는 component-channel rank로부터 도출된다.
  • Double-IRS cooperative system: 두 single-reflection link의 combined rank는 component matrix가 linearly independent일 때 min(rank(G_2), rank(U_2)) + min(rank(G_1), rank(U_1))이다.Diagonal IRS reflection matrix Φ_1과 Φ_2는 full rank이므로 이 channel-rank 조건을 변경하지 않는다.
  • Double-IRS cooperative system: H_d와 H_s는 G_2와 U_1을 공유하므로 not generally linearly independent하며, overall channel rank는 이러한 dependence를 고려해야 한다.부록에서는 common factor가 double-reflection 및 single-reflection 성분을 일반적으로 independent한 것으로 취급할 수 없는 이유라고 명시한다.
  • Single-IRS baseline: Single-IRS baseline에서는 지리적 분리에 따라 channel matrix가 linearly independent가 되며, full-rank reflection matrix Φ는 channel-rank 조건에 영향을 주지 않는다.Baseline 도출은 channel rank assumption A2하에서 제시된다.
  • Rank comparison: 도출된 double-IRS 및 single-IRS rank 결과를 비교하면 relationship (52)가 나오며, 이로써 부록의 rank-condition proof를 완성한다.해당 부분에서는 이 비교를 도출의 마지막 단계로 규정한다.
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