How to Compute Invariant Manifolds and their Reduced Dynamics in High-Dimensional Finite-Element Models

Shobhit Jain; George Haller

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How to Compute Invariant Manifolds and their Reduced Dynamics in High-Dimensional Finite-Element Models

Shobhit Jain, George Haller

arXiv:2103.10264v22021년 3월 18일cs.CEmath.DS

TL;DR

고차원 finite-element model에서는 시스템 차원이 커질수록 기존 continuation 접근법의 한계로 invariant-manifold 계산이 어려워진다. 이 논문은 확장 가능한 parametrization 기반 방법론을 개발하고, 대형 기계 구조물에서 빠르고 신뢰할 수 있는 reduced-dynamics 계산을 입증한다.

문제
기존 invariant-manifold 계산 및 continuation package는 주로 저차원 시스템을 대상으로 하므로, 수천에서 수백만 개의 자유도를 갖는 mechanics 문제에 적용하기 어렵다.
방법
이 논문은 physical coordinates에서 parametrization method를 재정식화하고, master modes만 사용해 국소 invariant manifold와 reduced dynamics를 계산한다.
결과
이 방법론은 Lyapunov subcenter manifold, conservative backbone curve, spectral submanifold, forced response curve를 계산하며, 매우 큰 구조물에서도 빠르고 신뢰할 수 있는 계산을 수행한다.
시사점 및 한계
이 접근법은 매우 고차원인 finite-element 기계 시스템에 대해 수학적으로 엄밀한 nonlinear model reduction을 가능하게 한다.
시사점 및 한계
특정 outer resonance는 invariant manifold의 존재를 막으며, aircraft-wing coefficient assembly에는 상당한 메모리가 필요할 수 있다.

Abstract

from arXiv · show

Invariant manifolds are important constructs for the quantitative and qualitative understanding of nonlinear phenomena in dynamical systems. In nonlinear damped mechanical systems, for instance, spectral submanifolds have emerged as useful tools for the computation of forced response curves, backbone curves, detached resonance curves (isolas) via exact reduced-order models. For conservative nonlinear mechanical systems, Lyapunov subcenter manifolds and their reduced dynamics provide a way to identify nonlinear amplitude-frequency relationships in the form of conservative backbone curves. Despite these powerful predictions offered by invariant manifolds, their use has largely been limited to low-dimensional academic examples. This is because several challenges render their computation unfeasible for realistic engineering structures described by finite-element models. In this work, we address these computational challenges and develop methods for computing invariant manifolds and their reduced dynamics in very high-dimensional nonlinear systems arising from spatial discretization of the governing partial differential equations. We illustrate our computational algorithms on finite-element models of mechanical structures that range from a simple beam containing tens of degrees of freedom to an aircraft wing containing more than a hundred-thousand degrees of freedom.

1 서론

고차원 역학에서 invariant manifold를 계산하는 일은 전역 continuation의 계산 비용과 local parametrization 방법에서의 diagonalization 및 coordinate change로 인해 제약된다. 이 논문은 최소 개수의 eigenvector만 사용하는 확장 가능한 physical-coordinate 방법론을 개발하며, 폭넓은 적용 범위와 오픈소스 구현을 제공한다.

계산상의 도전 과제: PDE로 이산화된 기계 시스템에서는 시스템 차원 N이 증가함에 따라 전역 collocation 및 spectral 접근법의 계산이 불가능해진다.이 방법들은 각 continuation 단계에서 O(...)개의 nonlinear algebraic equation을 풀어야 하며, 기존 패키지들은 주로 저차원 예제에서 자동화된 continuation을 시연한다.
계산상의 도전 과제: Diagonalization 기반 parametrization 방법은 모든 N eigenvalue를 필요로 하고 physical coordinate에서 sparsity를 파괴하므로 고차원 역학에는 적용하기 어렵다.이에 수반되는 linear coordinate change는 역학 응용에서 nonlinear coefficient가 본래 갖는 sparsity도 제거한다.
제안 방법론: 이 논문은 physical coordinate와 최소 개수의 eigenvector만 사용하는 확장 가능한 local parametrization 방법론을 개발한다.이 방법은 autonomous setting에서 fixed point에 부착된 invariant manifold에 대한 Taylor-series coefficient 식을 유도한다.
범위와 구현: 이 절차는 periodic 또는 quasiperiodic forcing을 갖는 smooth first-order system에 적용되며 stable, unstable, center, Lyapunov subcenter, spectral submanifold을 계산한다.physical coordinate를 유지하면서 임의로 높은 정확도 차수를 지원한다.
범위와 구현: 계산 기법은 오픈소스 MATLAB 패키지 SSMTool 2.0 에 구현되어 있다.이 구현은 방법론이 다루는 invariant-manifold 유형 전반의 계산을 자동화하는 것을 목표로 한다.

2 일반 설정

이 논문은 유한요소 기계 모델을 일차 시스템으로 정식화하고, 일반화 고유공간과 spectral subspace를 통해 불변 구조를 정의한다. 모달 대각화는 이론적 불변 다양체 분석을 뒷받침하지만, 고차원 유한요소 모델에서는 계산이 불가능할 정도로 부담이 크다.

기계 모델: 유한요소 이산화는 질량, 감쇠, 강성, 비선형 내부력과 자율적·주기적·준주기적 외력을 포함하는 이차 기계 방정식을 산출한다.외력은 K=0, K=1 또는 K>1인 유리하게 비가환적인 주파수들로 이루어진 주파수 벡터로 특성화된다.
일차 정식화: 이 방법론은 임의의 일차 시스템에 적용되며, N=2n 차원의 기계 시스템도 포함한다. 등가 정식화는 비특이 행렬 N에 의해 결정된다.기계 행렬이 대칭이면, 적절한 N을 선택하여 일차 행렬도 대칭으로 만들 수 있다.
Invariant structure: 선형화된 시스템의 generalized eigenspace는 stable, unstable, center subspace를 포함하는 invariant spectral subspace를 생성하며, SSM은 stable spectral subspace의 가장 매끄러운 비선형 연속체를 제공한다.적절한 조건에서 SSM의 존재성과 유일성은 parametrization method [52]를 사용해 얻어진다.
계산적 한계: Modal diagonalization은 invariant-manifold의 존재성과 유일성을 증명하는 데 유용하지만, 고차원 유한요소 문제에서 실제 계산에는 계산적으로 불가능하다.Parametrization framework는 master spectral subspace와 그 adjoint를 span하는 right 및 left eigenvector를 사용한다.

3 대각화된 형식 (14)의 함정

대각화된 형식 (14)은 완전한 spectral data 계산 비용이 크고 좌표 변환으로 sparsity가 소실되어 coefficient 저장 요구량이 막대해지므로 고차원 finite-element 시스템에는 실용적이지 않다.

3 대각화된 형식 (14)의 함정: 물리 좌표 비선형성은 Kronecker product로 표현되며, z⊗k는 N^k개의 degree-k monomial을 포함하고 F_k는 그 계수를 저장한다.벡터의 경우 z⊗z는 항이 z_i z_j인 zz^T를 생성하며, 고차 tensor product는 이 구성을 일반화한다.
3 대각화된 형식 (14)의 함정: 동일한 coefficient 기반 표현을 q∈C^N의 modal-coordinate nonlinearity T에도 사용한다.대각화된 정식화는 해당 polynomial coefficient array를 사용해 modal coordinate에서 비선형 항을 표현한다.
3.1 Eigenvalue 및 eigenvector 계산: 매우 고차원인 시스템에서는 complete eigenvector bases를 여전히 확보할 수 없지만, 소수의 eigenvalue와 eigenvector 부분집합은 효율적으로 계산하고 저장할 수 있다.Invariant-manifold 계산에는 일반적으로 모든 eigenvector를 active memory에 유지해야 한다.
3.1 Eigenvalue 및 eigenvector 계산: plate의 degree of freedom이 약 100,000까지 증가하면 모든 eigenvalue를 계산하는 데 Nearly a year가 필요한 반면, sparse iterative solver는 작은 부분집합만 효율적으로 계산한다.Figure 2는 MATLAB eig를 사용한 full eig 계산과 eigs로 계산한 magnitude가 가장 작은 다섯 개의 eigenpair를 비교한다.
3.2 좌표 변환으로 인한 실행 불가능한 memory 요구량: Local invariant-manifold approximation은 시스템을 modal coordinates로 변환하고, master subspace 위에서 manifold를 표현하며, Taylor-series invariance equation을 재귀적으로 푼다.이 절차는 각 차수에서 polynomial ansatz를 대각화된 시스템에 대입한다.
3.2 좌표 변환으로 인한 실행 불가능한 memory 요구량: z=Vq를 변환하면 governing equations’ physical-coordinate sparsity가 소실되어 polynomial coefficient 수가 orders of magnitude만큼 증가하고 memory 사용이 실행 불가능해진다.Physical sparsity는 numerical mesh가 주로 인접한 degree of freedom을 연결하기 때문에 발생한다.
3.2 좌표 변환으로 인한 실행 불가능한 memory 요구량: 중간 규모의 square-plate mesh에서도 변환된 nonlinear coefficient를 저장하려면 terabytes to petabytes의 memory가 필요하다.Figure 3은 phase-space dimension이 증가할 때 physical coordinate와 modal coordinate에서의 coefficient storage를 비교한다.

4 물리 좌표에서 고정점의 불변 다양체 계산

이 방법은 master subspace의 고유벡터와 고유값만을 사용해 물리 좌표에서 불변 다양체와 그 reduced dynamics를 직접 계산한다. parametrization freedom을 활용해 polynomial invariance equation을 재귀적으로 풀며, resonance와 실수값 계산에 적합한 선택도 포함한다.

4 물리 좌표에서 고정점의 불변 다양체 계산: 일반적으로 사용되는 접근법 [37] [41]과 달리, 불변 다양체는 master subspace E에 대응하는 고유벡터와 고유값만을 사용해 물리 좌표에서 계산된다.
4 물리 좌표에서 고정점의 불변 다양체 계산: Parametrization W는 M차원 좌표 p를 전체 phase space로 사상하며, R은 다양체 위에서의 전체 시스템 궤적으로 사상되는 궤적을 갖는 reduced dynamics를 정의한다.
4 물리 좌표에서 고정점의 불변 다양체 계산: W와 R은 다변수 polynomial expansion으로 표현되며, 물리 좌표의 sparse nonlinearity coefficient는 크기가 매우 큰데도 저장이 간단하다.
4 물리 좌표에서 고정점의 불변 다양체 계산: 각 차수 i≥2에서 미지 manifold coefficient W_i에 대한 cohomological equation을 vectorize하여 polynomial invariance equation을 재귀적으로 푼다.차수-i cohomological operator는 A, B, R_1을 통한 선형 전체 시스템과 reduced system에 의해 완전히 결정된다.
4 물리 좌표에서 고정점의 불변 다양체 계산: Parametrization underdeterminacy에 따라 문맥에 맞는 선택이 가능하다. 실수 master-subspace basis는 메모리 요구량을 절반으로 줄이며, 적절한 reduced dynamics는 operator가 singular해지는 resonance 상황에서도 solvability를 보존할 수 있다.

4.1 매개변수화 선택

매개변수화 선택은 cohomological operator의 공명 구조에 의해 결정된다. inner resonance는 reduced dynamics를 조정해 처리할 수 있지만, outer resonance는 해의 존재를 방해한다. 저자들은 master subspace의 eigenvector만 사용해 normal-form 및 graph-style parametrization을 physical coordinates에서 계산하는 절차를 도출하며, graph style은 사전 공명 식별이 필요하지 않다.

매개변수화 선택: inner resonance는 reduced dynamics를 조정해 수용할 수 있지만, outer resonance는 우변을 operator range에 둘 수 없기 때문에 cohomological equation을 일반적으로 풀 수 없게 만든다.두 공명 유형 모두 Li를 singular하게 만들지만, inner resonance는 매개변수화 조정을 허용하는 반면 outer resonance는 허용하지 않는다.
Normal form parametrization: normal-form procedure는 master spectral subspace에 해당하는 eigenvalue와 eigenvector만 사용하고 Li의 left kernel에 사영하여 physical coordinates에서 reduced dynamics를 직접 계산한다.대각 좌표로 변환하지 않고도 normal-form coefficient를 얻을 수 있도록, inner-resonant monomial에 대한 nontrivial reduced coefficient만 정확히 유지한다.
Normal form parametrization: lightly damped system에서는 eigenvalue imaginary part 사이의 near-resonance를 normal-form parametrization에 포함해야 한다. 정확한 공명 조건은 거의 충족되지 않기 때문이다.관련 공명 관계는 real part와 imaginary part가 동시에 일치해야 하므로, real part가 작을 때 near-resonant mode가 중요할 수 있다.
Graph style parametrization: normal-form parametrization은 resonant monomial만 유지하는 반면, graph style은 일반적으로 더 많은 nontrivial monomial을 포함하므로 더 복잡한 reduced dynamics를 생성한다.graph style은 Gi를 계산하지 않고 reduced-dynamics coefficient를 직접 제공하며, 특정 inner resonance를 사전에 식별할 필요가 없다.

4.2 응용

이 방법론은 대각화 없이 매개변수 의존 center manifold와 normal-form reduced dynamics를 계산해 Lorenz pitchfork bifurcation을 재현한다. 보존 기계 시스템에 적용하면 non-resonance 조건에서 Lyapunov subcenter manifold를 계산하고 보존 backbone curve를 직접 도출한다.

Lorenz 시스템 응용: Lorenz 계산은 2차원 center subspace 내부의 inner resonances를 탐지하지만 나머지 고유값과의 outer resonances는 탐지하지 않아, 자명하지 않은 normal-form reduced dynamics를 가능하게 한다.normal-form parametrization을 선택한 뒤 reduced dynamics를 고차까지 재귀적으로 구한다.
Lorenz 시스템 응용: 계산된 매개변수 의존 center-manifold dynamics는 µ = ρ − 1에 대한 Lorenz system의 pitchfork bifurcation을 재현한다.이 구성은 영 고유값에 대응하는 2차원 center subspace와 normal-form parametrization을 사용한다.
Lyapunov subcenter manifolds: LSM은 master frequency가 나머지 주파수들과 non-resonant일 때, 서로 다른 고유값 쌍 ±iω_m이 생성하는 modal subspace의 유일한 analytic 2차원 nonlinear extension이다.LSM은 master mode ϕ_m만을 사용해 physical coordinates에서 invariance equation으로부터 계산한다.
Lyapunov subcenter manifolds: 보존 기계 시스템에서 이 방법은 Lyapunov subcenter manifold 위의 periodic-orbit amplitude ρ와 frequency ω를 연결하는 backbone curve를 직접 제공한다.이 결과는 mode ϕ_m에 대응하는 LSM에 대해, 모든 정수 k와 나머지 모드 i에 대해 ω_m ≠ kω_i인 non-resonance 조건에서 성립한다.

5 비자율 강제하에서의 불변 다양체와 그 축약 동역학

비자율 강제하에서 불변 다양체는 불변 토러스 또는 주기 궤도에 부착된 whisker가 되며 각변수 parameterization이 필요하다. 선도차 Fourier formulation은 근접 공명을 다루고, 축약 동역학은 고차원 시스템의 강제응답 곡선과 isolas를 산출한다.

강제 불변 다양체: Parametrization method는 강제된 불변 토러스에 부착된 (M + K)-차원 whisker를 계산하며, 다양체와 축약 동역학을 강제 위상으로 parameterize한다.강제 주파수가 하나이면 토러스는 주기적이고, 여러 주파수이면 준주기적이다. ϵ = 0에서는 이 구성은 자율 다양체로 환원된다.
Fourier 계산: 선도차 비자율 다양체 및 축약 동역학 항은 Fourier expansion을 통해 계산되며, 각 강제 multi-index κ에 대해 독립적인 선형 시스템을 생성한다.독립적인 계수 풀이를 이용하면 프로세스 간 통신을 최소화하면서 병렬 계산을 수행할 수 있다.
공명 처리: 근접 공명 강제는 small divisors를 생성하므로, 공명항은 normal-form 또는 graph parametrization을 통해 축약 동역학에 포함된다.공명이 master subspace 외부의 모드를 포함하면 Taylor 근사의 수렴 영역이 축소된다. 해당 모드를 포함하면 이 문제를 완화할 수 있다.
강제응답 곡선: 일반화된 축약 동역학은 주기적으로 강제된 시스템에서 공명 부근의 forced-response curves를 추출하며, 비례 감쇠와 동기식 mono-harmonic forcing를 넘어 기존 SSM 공식 을 확장한다.Forcing-response curves는 polar reduced system의 fixed points에서 발생하며, 주파수 ηΩ를 갖는 주기 궤도에 해당한다.
응용과 범위: 도출된 zero-level-set formulation은 detached resonance curves, 즉 isolas를 식별하며, 임의로 높은 정확도에서 내부 공명을 갖는 고차원 시스템에도 적용된다.이 formulation은 수치적 어려움을 피하기 위해 동등한 scalar functions를 선택하는 것도 지원한다.

6 수치 예제

수치 예제는 local SSM 계산이 유한요소 기계 시스템 전반에서 reduced dynamics로부터 nonlinear forced-response curves와 stable 또는 unstable periodic orbits를 복원함을 보여준다. 이러한 결과는 global continuation 결과와 일치하면서도 훨씬 더 큰 모델에 대해 계산 가능하다.

계산 방법: 이 방법은 local invariance equations를 풀고, 2차원 SSM reduced dynamics를 시뮬레이션하며, polar-coordinate trajectories를 manifold 위로 사상하여 FRCs를 계산한다.SSMs 위의 reduced dynamics는 periodic orbits에 부착되며, Lemma 2를 통해 FRCs를 제공한다.
기계 예제: 예제는 유한요소와 유사한 oscillator chains, beams, shallow arches, aircraft wing을 아우르며, 응답은 shallow arches에서 softening을, wing에서 예상된 hardening을 보인다.wing에서는 reduced dynamics의 hyperbolic fixed points로부터 stable 및 unstable FRC periodic orbits를 얻는다.
FRC 검증: Local SSM 계산은 collocation 및 harmonic-balance continuation으로 얻은 FRCs를 closely reproduce FRCs하며, hyperbolic reduced-dynamics fixed points를 통해 stable 및 unstable periodic orbits를 식별한다.이 일치는 oscillator-chain과 beam 예제 모두에서 보고되었으며, harmonic balance에는 NLvib, collocation에는 coco가 사용되었다.
계산 규모: aircraft-wing-scale 계산에서 병렬화하지 않은 경우 model generation과 coefficient assembly에 1 hour 21 minutes 38 seconds가 걸렸으며, memory consumption이 주요 병목이었다.첫 10개 eigenvalues를 계산하는 데는 approximately 5 seconds가 걸렸고, coefficient assembly에서 peak memory demand가 발생했다.

7 결론

이 연구는 고차원 비선형 역학에서 invariant manifold 및 reduced dynamics 계산을 물리 좌표로 재정식화하여, 실행 불가능한 full linear system diagonalization을 피한다. center manifold, LSM 및 backbone curve, SSM 및 forced response curve에 대한 적용을 보이고, 더 고차원인 manifold와 병렬 계산으로의 확장 가능성을 제시한다.

계산 방법론: parametrization method를 사용하면 classical linear system diagonalization이 실행 불가능한 경우에도 물리 좌표에서 invariant manifold와 reduced dynamics를 계산할 수 있다.이 재정식화는 고차원 비선형 역학 문제를 대상으로 한다.
공학적 응용: 이 방법론은 parameter-dependent center manifold, 보존적 backbone curve를 갖는 Lyapunov subcenter manifold, forced response curve를 갖는 spectral submanifold을 포괄한다.또한 매우 큰 시스템에서 spectral submanifold를 normal-form-style parametrization으로 표현하여 빠르고 신뢰성 높은 forced-response-curve 계산을 지원한다.
확장: 예제는 2차원 spectral submanifold에 초점을 맞추었지만, 자동화된 절차와 구현 은 더 고차원인 invariant manifold도 다룰 수 있다.그 reduced dynamics는 Li et al. [73] 및 Li & Haller [74]에서 계획한 바와 같이, 여러 mode 사이에서 energy transfer가 일어나는 internally resonant system의 forced response curve를 직접 계산할 수 있다.
향후 개선: invariance equation은 각 monomial/Fourier multi-index에 대해 독립적으로 풀 수 있으므로, 병렬화는 계획된 개선 사항이다.이 개발은 진행 중이며 향후 보고를 위해 남겨 두었다.

연구비

저자들은 이 연구를 위해 특정 연구비를 지원받지 않았다고 보고한다.

이 연구를 위해 특정 연구비를 지원받지 않았다.

A 기본 명제

이 절에서는 semisimple 행렬과 generalized eigenvalue matrix pair에 대한 Kronecker-product 스펙트럼 성질을 정립한다. 또한 관련 tensor-product eigenvector를 특성화하고, eigenvalue product가 1일 때 그 결과로 얻어지는 singular matrix와 그 kernel을 규명한다.

Proposition 1: Proposition 1은 semisimple 행렬의 i-fold Kronecker power가 semisimple임을 보이며, eigenvalue는 원래 eigenvalue의 곱으로 형성되고 eigenvector는 tensor-product eigenvector로 주어진다.원래 eigenvector의 선형독립성과 Kronecker-product 논증을 통해 semisimplicity를 확립한다.
Proposition 2: Proposition 2는 λµ가 Kronecker matrix pair (C ⊗ A),(D ⊗ B)의 generalized eigenvalue이며, left and right eigenvector가 e ⊗ u and f ⊗ v임을 보인다.두 원래 matrix pair에 대한 generalized eigenvalue 관계와 Kronecker-product 항등식을 적용하면 결과를 얻는다.
Proposition 2: λµ = 1일 때 Proposition 2는 더 나아가 resulting matrix가 singular이며, f ⊗ v와 e ⊗ u가 각각 its right and left kernel에 속함을 보인다.kernel 특성화는 대응하는 Kronecker-product eigenvector 관계로부터 얻어진다.

B 보조정리 1의 증명

증명은 Lyapunov subcenter manifold 위의 reduced dynamics가 일정 진폭 정상상태와 진폭 의존 각주파수를 갖는다는 것을 보인다. 이 manifold는 periodic orbit들로 foliation되므로, 이 주파수-진폭 관계는 mode m 주변의 conservative backbone을 정의한다.

B 보조정리 1의 증명: 스칼라 진폭 방정식은 위상과 decouple되므로, 유일한 정상상태는 constant amplitude ρ = ρ(0)이다.
B 보조정리 1의 증명: 따라서 위상 방정식 ˙θ = ω(ρ)는 정상상태 진폭에 의해 결정되는 constant angular frequency를 제공한다.reduced-dynamics 함수 a와 ω는 LSM이 analytic이므로 analytic이다.
B 보조정리 1의 증명: LSM의 periodic-orbit foliation은 ω(ρ)를 각 constant amplitude에서의 진동 주파수로 만들며, relation (69)를 통해 mode m 주변의 conservative backbone을 도출한다.

C Lemma 2의 증명

증명은 polar reduced dynamics를 유도하고, fixed point를 그 projection이 FRC를 산출하는 periodic reduced-system orbit로 특성화하며, phase shift를 구하고, Jacobian eigenvalue를 통해 stability를 확립한다.

Polar reduced dynamics: phase shift 이후 실수부와 허수부를 비교하면 polar reduced dynamics가 도출되어 statement (i)가 증명된다.e^iθ로 나눈 뒤 ψ = θ − ηφ로 phase shift를 도입한다.
Fixed point와 FRC: polar reduced dynamics의 fixed point는 periodic reduced-system orbit를 나타내며, (ρ, Ω)로의 projection은 FRC를 제공한다.fixed-point equation을 풀면 fixed point는 one-dimensional zero submanifold를 이루며, ψ를 소거하면 해당하는 (ρ, Ω) 관계를 얻는다.
Phase shift: fixed-point equation을 cos ψ와 sin ψ에 대해 풀면 phase shift가 결정되어 statement (iii)가 증명된다.phase shift는 그 결과로 얻은 trigonometric expression에서 도출된다.
Stability: 각 fixed point에서 평가한 Jacobian은 eigenvalue를 제공하며, 이를 통해 linearized stability analysis로 hyperbolic fixed point의 stability가 결정된다.이 standard-form formulation은 statement (iv)를 확립한다.