PaperlayerView exact revision on arXiv

Source-linked AI summary

Convex optimization

Evgeniya Vorontsova, Roland Hildebrand, Alexander Gasnikov, Fedor Stonyakin

arXiv:2106.01946v4math.OCmath.NA

TL;DR

Convex optimization methods must exploit problem structure rather than seek a universally best solver. This textbook develops oracle-based complexity analysis and advanced convex-optimization methods, showing optimality for the center-of-gravity method on general convex functions and presenting accelerated and conic approaches.

  • Problem

    Because optimization methods perform differently across problem classes, efficient algorithms must exploit the structure of particular instances.

  • Method

    The textbook analyzes methods through oracle complexity, measuring oracle calls needed to reach a prescribed accuracy, and develops accelerated, proximal, and interior-point approaches.

  • Results

    The center-of-gravity method is optimal for finite-dimensional optimization over the class of all convex functions with a first-order oracle.

  • Takeaways & Limitations

    Oracle-based complexity provides a principled basis for comparing optimization methods across problem classes and accuracies.

Abstract

from arXiv · show

This textbook is based on lectures given by the authors at MIPT (Moscow), HSE (Moscow), FEFU (Vladivostok), V.I. Vernadsky KFU (Simferopol), ASU (Republic of Adygea), and the University of Grenoble-Alpes (Grenoble, France). First of all, the authors focused on the program of a two-semester course of lectures on convex optimization, which is given to students of MIPT. The first chapter of this book contains the materials of the first semester ("Fundamentals of convex analysis and optimization"), the second and third chapters contain the materials of the second semester ("Numerical methods of convex optimization"). The textbook has a number of features. First, in contrast to the classic manuals, this book does not provide proofs of all the theorems mentioned. This allowed, on one side, to describe more themes, but on the other side, made the presentation less self-sufficient. The second important point is that part of the material is advanced and is published in the Russian educational literature, apparently for the first time. Third, the accents that are given do not always coincide with the generally accepted accents in the textbooks that are now popular. First of all, we talk about a sufficiently advanced presentation of conic optimization, including robust optimization, as a vivid demonstration of the capabilities of modern convex analysis.

R. Tyrrell Rockafellar [282]

This textbook presents a two-semester convex optimization course grounded in lectures from several universities, combining convex analysis, optimization modeling, and numerical methods. It deliberately expands coverage through selective proofs and advanced conic optimization, including robust optimization.

  • Optimization foundations: The textbook emphasizes the interdependence of convex analysis, mathematical modeling, and numerical methods as the three foundations of optimization.The authors frame these components as mutually connected in both theory and computation.
  • Course structure: The textbook follows a two-semester convex optimization curriculum: Chapter 1 covers convex analysis and optimization, while Chapters 2–3 cover numerical methods.Its primary orientation is the lecture program taught at MIPT, with source lectures also delivered at HSE, FEFU, V.I. Vernadsky KFU, ASU, and the University of Grenoble-Alpes.
  • Presentation features: The presentation omits proofs of some stated results, enabling broader coverage of connections and constructions but making the textbook less self-contained.This approach differs from classical manuals that typically prove all major facts.
  • Advanced coverage: Advanced material, including conic optimization and robust optimization, receives unusually prominent treatment as a demonstration of modern convex analysis.The textbook also highlights the role of modern numerical methods in solving convex optimization problems.

Основы выпуклого анализа

Раздел излагает ключевые результаты выпуклого анализа и оптимизации: двойственность, чувствительность, специальные задачи и методы представления выпуклых конусов. Показаны также связи с линейным программированием, статистическим тестированием, финансовой математикой и конической оптимизацией.

  • Специальные задачи: Задача trust region решается нормированным собственным вектором, соответствующим минимальному собственному значению матрицы, а при C ≻ 0 квадратичное программирование обладает сильной двойственностью.Полуопределённая релаксация QCQP точна при единственном ограничении, поскольку существует решение релаксации ранга 1.
  • Двойственность и чувствительность: Для линейного программирования слабая двойственность даёт нижнюю оценку, а сильная двойственность утверждает совпадение конечных оптимальных значений прямой и двойственной задач.Для возмущённого оптимума выводятся нижние оценки и заключения о чувствительности к изменению ограничений.
  • Двойственность и чувствительность: Условия Слейтера гарантируют сильную двойственность в выпуклом программировании, а множители Лагранжа интерпретируются как цены ограничений.При неактивном ограничении соответствующий множитель равен нулю; положительный множитель соответствует активному ограничению.
  • Приложения двойственности: Лемма Неймана–Пирсона устанавливает наиболее мощный критерий заданного уровня значимости, а метод множителей Лагранжа определяет его критическую область через отношение правдоподобий.Включаются точки, существенно более вероятные при альтернативной гипотезе, чем при нулевой.
  • Коническая оптимизация: Конические программы над симметричными конусами охватывают LP, CQP/SOCP и SDP; минимальные размерности представлений связаны с неотрицательным и полуопределённым рангами операторов невязок.Если оператор невязок не факторизуется через матричный конус, конус не является полуопределённо представимым; полиэдральные конусы также дают приближения конусов Лоренца.

Эффективность численных методов выпуклой оптимизации · 2.2 Методы выпуклой оптимизации для задач небольшой размерности

The chapter frames convex-optimization efficiency through oracle complexity and problem structure, presenting upper and lower bounds for different convex-function classes. Section 2.2 specializes this framework to low-dimensional problems, covering one-dimensional search, center-of-gravity, and ellipsoid methods with explicit convergence and complexity guarantees.

  • Эффективность численных методов выпуклой оптимизации: Accelerated gradient and tensor methods can be constructed through the Accelerated Meta-algorithm, while gradient inexactness is analyzed through its effect on convergence rates.These results are presented as recent additions, alongside examples involving inaccurate gradients.
  • Эффективность численных методов выпуклой оптимизации: Oracle complexity measures efficiency by the number of oracle calls needed to reach accuracy ε, enabling upper and lower bounds under the black-box model.The model assumes iterative methods use only local oracle responses; oracle calls often determine iteration count and overall runtime.
  • Обозначения: The notation section assumes an optimizer x* exists in Q and defines the optimal value as f*=f(x*).Q is treated as the region containing the minimum, including an explicitly chosen bounded localization set when the practical domain is R^n.
  • 2.2 Методы выпуклой оптимизации для задач небольшой размерности: For low-dimensional problems, the methods in Section 2.2 require linear or quadratic dependence on dimension for oracle calls and therefore target problems of moderate dimension.They also require a cutting-plane oracle that either certifies membership in Q or returns a separating hyperplane.
  • 2.2.1 Методы решения одномерных задач: The one-dimensional methods use derivative-sign or derivative-value information; bisection and golden-section search both achieve linear convergence.Bisection assumes an oracle can determine whether a query lies to either side of a global minimizer; for differentiable functions, the oracle returns the derivative sign.
  • 2.2.2 Метод центров тяжести: The center-of-gravity method reaches accuracy ε using at most O(nlog(C/ε)) first- and zeroth-order oracle calls and is unimprovable for finite-dimensional first-order convex optimization.Its convergence rate depends on dimension and initial uncertainty, and it approaches the minimum geometrically under the stated cutting-plane framework.
  • 2.2.3 Метод эллипсоидов: For an M-Lipschitz function on a Euclidean ball of radius R, the ellipsoid method finds f* within ε using at most 2n^2 log(MR/ε) oracle calls.Its ellipsoid volume contracts geometrically, and linear-programming instances can be solved in O(mn^3L) arithmetic operations under the stated encoding conditions.

2.3 Субградиентные методы

For convex Lipschitz, possibly nonsmooth objectives, the standard subgradient method is optimal in oracle complexity when the stepsize is chosen appropriately. The section also develops switching productive/nonproductive subgradient schemes for inequality-constrained convex programs and extends the discussion to duality and non-Euclidean norms.

  • Optimality and stepsize selection: For convex Lipschitz objectives on R^n with the Euclidean norm, the ordinary subgradient method is presented as the optimal method for nonsmooth minimization, under a uniform subgradient bound ∥∇f(x_k)∥_2 ≤ M.The analysis selects the nearest optimum when multiple optima exist and derives the method’s convergence estimate from the bounded-subgradient assumption.
  • Optimality and stepsize selection: Dimensional analysis recovers the iteration scaling N = M^2R^2/ε^2 and supports stepsizes proportional to ε/M^2 or R/M.Here R measures the initial distance to an optimum, M bounds subgradient norms, and ε is the target accuracy.
  • Constrained subgradient methods: For inequality-constrained convex programs over a closed set Q, the switching method uses objective subgradients on productive steps and constraint subgradients on nonproductive steps, with separate Lipschitz bounds M_f and M_g.Productive steps satisfy g(x_k) ≤ ε, while nonproductive steps use the constraint when g(x_k) > ε; projection onto Q is part of the scheme.
  • Constrained subgradient methods: The constrained switching scheme has a guaranteed convergence estimate after a prescribed number of iterations under the stated Lipschitz and subgradient assumptions.The proof separately bounds productive and nonproductive iterations and establishes that the set of productive steps is nonempty.
  • Primal-dual analysis and generalization: The constrained algorithm is also analyzed through primal-dual approximations: under Slater’s condition, the duality gap Δ(x_N, λ_N) provides a natural measure of approximation quality, and the results can be generalized to non-Euclidean norms.A smaller duality gap indicates a better approximation of the primal and dual solutions.
  • Optimality and stepsize selection: With an appropriate stepsize, subgradient methods are optimal up to constants in oracle calls for convex optimization with Lipschitz objectives or functional constraints, whereas gradient descent is not optimal for Lipschitz-gradient objectives.The optimality statements are tied to lower bounds on the number of oracle calls, meaning subgradient evaluations.

2.4 Методы типа градиентного спуска · 2.5 Оценка скорости сходимости градиентного спуска для задач гладкой выпуклой оптимизации

Раздел систематизирует градиентные методы для квадратичных и гладких выпуклых задач, включая оптимальные методы Чебышёва, Тейлора–Дрори и Кима–Фесслера. Для точной оценки скорости градиентного спуска задача сводится к конечномерной полуопределённой релаксации, точной при достаточно большой размерности.

  • 2.4 Методы типа градиентного спуска: Для квадратичных задач при μI_n ⪯ A ⪯ LI_n градиентный спуск решает систему Ax = b, где μ и L задают сильную выпуклость и липшицевость градиента.Анализ проводится в евклидовой норме и рассматривает семейство методов с постоянным шагом.
  • 2.4 Методы типа градиентного спуска: Оценку сходимости стандартного градиентного спуска нельзя улучшить в общем случае, а метод Чебышёва достигает минимаксно оптимальных оценок в более общем классе методов.Лучший выбор шага улучшает оценку лишь до указанного оптимального уровня.
  • 2.4 Методы типа градиентного спуска: При μ = 0 сходимость по аргументу теряется, но для шага h ≤ 1/L сохраняется сходимость по функции.Разумным выбором называется h = 1/L; сопряжённые градиенты сохраняют адаптивность без знания μ и L [66].
  • 2.4 Методы типа градиентного спуска: Для μ-сильно выпуклых задач с L-липшицевым градиентом оптимален ускоренный метод Тейлора–Дрори, которому соответствует нижняя оценка при 2N+1 ≤ n [298].Это связывает приведённую скорость сходимости с оптимальностью на рассматриваемом классе.
  • 2.4 Методы типа градиентного спуска: Для выпуклых задач с L-липшицевым градиентом оптимален ускоренный метод Кима–Фесслера, а нижняя оценка действует при N+1 ≤ n [213].Метод и соответствующая нижняя оценка относятся к классу выпуклых задач без требования сильной выпуклости.
  • 2.5 Оценка скорости сходимости градиентного спуска для задач гладкой выпуклой оптимизации: Точная оценка скорости градиентного спуска на F_μ,L получается сведением существования функции к квадратичным условиям на конечном наборе значений, точек и градиентов.Анализ постоянного шага рассматривает начальную точку в шаре радиуса R вокруг минимума.
  • 2.5 Оценка скорости сходимости градиентного спуска для задач гладкой выпуклой оптимизации: Полуопределённая релаксация становится точной при d ≥ 2k+1, поэтому точно характеризует скорость метода на задачах произвольной размерности.Квадратичные выражения по векторам заменяются линейными выражениями по элементам их грамиана.
  • 2.5 Оценка скорости сходимости градиентного спуска для задач гладкой выпуклой оптимизации: Для критерия по значению функции наихудшая функция имеет одномерную кусочно-квадратичную форму, а оптимальный шаг зависит от k и при k → ∞ стремится к 2/(L+μ).Эта форма и асимптотический шаг следуют из численного и аналитического анализа на классе F_μ,L.

2.6 Метод условного градиента, или алгоритм Франк–Вульфа · 2.7 Ускоренный Мета-алгоритм

Метод Франка–Вульфа линеаризует целевую функцию и заменяет проекцию минимизацией линейной функции на компактном выпуклом множестве, обеспечивая работу с различными нормами и разреженными решениями. Ускоренный Мета-алгоритм объединяет ускоренные методы гладкой выпуклой оптимизации в единую проксимальную оболочку и при дополнительных условиях достигает оптимальных оценок сложности.

  • 2.6 Метод условного градиента, или алгоритм Франк–Вульфа: Метод Франка–Вульфа в каждой итерации минимизирует линейную аппроксимацию функции на Q и использует найденную точку для направления движения.Метод предполагает, что линейная оптимизация на компактном выпуклом Q проще исходной задачи.
  • 2.6 Метод условного градиента, или алгоритм Франк–Вульфа: Применимость метода Франка–Вульфа определяется простотой линейной оптимизации на Q: для политопов это линейная программа, а для некоторых шаров и их проекций подзадача решается явно.На каждой итерации величина f(x_k) − μ_k ограничивает зазор двойственности.
  • 2.6 Метод условного градиента, или алгоритм Франк–Вульфа: Метод Франка–Вульфа не требует настоящей проекции, не зависит от типа нормы и допускает использование разреженности.Для политопа итерационная точка представляется выпуклой комбинацией вершин, причём после k итераций — комбинацией k вершин при вершинной начальной точке.
  • 2.6 Метод условного градиента, или алгоритм Франк–Вульфа: Метод Франка–Вульфа аффинно инвариантен: при аффинной замене координат он генерирует ту же последовательность точек при одинаковом x_0.Это свойство сохраняется при условии совпадения начальной точки.
  • 2.7 Ускоренный Мета-алгоритм: Ускоренный Мета-алгоритм показывает, что одной ускоренной проксимальной оболочки достаточно для получения всех известных ускоренных методов гладкой выпуклой безусловной оптимизации.В ряде случаев он устраняет логарифмические зазоры между оценками сложности и нижними оценками.
  • 2.7.1 Основные результаты: Теорема 2.9 задаёт сходимость Ускоренного Мета-алгоритма при p≥1 и H≥(p+1)L_p,f, а точность ε достигается по указанной в теореме оценке при p≥2.Вспомогательную задачу можно решать неточно; это изменяет правую часть оценки (2.41) множителем 12/5.
  • 2.7.1 Основные результаты: Оценка скорости сходимости Ускоренного Мета-алгоритма оптимальна с точностью до числового множителя c_p для выпуклых задач с липшицевой p-й производной.При равномерной выпуклости F оптимальный метод строится на базе УМ с помощью рестартов; число вычислений вспомогательной задачи задаётся Теоремой 2.10.

2.8 Приложения Ускоренного Мета-алгоритма

Раздел показывает, как Ускоренный Мета-алгоритм (УМ) порождает ускоренные методы для композитной оптимизации, проксимальных задач и седловых задач. Универсальная схема позволяет получать методы, оптимальные с точностью до логарифмического множителя по желаемой точности.

  • Композитная оптимизация: При простой подзадаче (2.40) УМ описывает ускоренные методы композитной оптимизации произвольного порядка, причем g может быть негладкой.В строке 5 алгоритма используется субградиент g, делающий субградиент правой части (2.40) близким к нулю.
  • Проксимальные методы: При p=1, f≡0 и H>0 УМ дает ускоренный проксимальный метод, которому не требуется очень точно решать вспомогательную задачу [193].Сильная 2-равномерная выпуклость подзадачи позволяет сделать ее сложность независимой от желаемой точности исходной задачи.
  • Каталист: Каталист получается как частный случай УМ, трактующего ускоренную проксимальную оболочку как обертку для неускоренных методов.Эти методы решают вспомогательную задачу (2.40) на каждой итерации при подходящем выборе H.
  • Седловые задачи: Для седловых задач УМ улучшает аналогичную схему из на логарифмический множитель и обобщает ее на ненулевые f и h [319,322].Схема также имеет обобщения на невыпукло-сильно вогнутые седловые задачи [325].
  • Седловые задачи: УМ позволяет конструировать оптимальные градиентные методы для гладких выпукло-вогнутых седловых задач на базе оптимальных ускоренных методов выпуклой оптимизации.При f≡0 и h≡0 это подтверждается известными нижними оценками; схема достигает оптимальности с точностью до логарифмического множителя.

2.9 Методы внутренней точки

Методы внутренней точки решают конические задачи, генерируя итерации внутри конуса; их применимость определяется эффективно вычислимым самосогласованным барьером с небольшим параметром. Следование центральному пути дает полиномиальную сложность короткого шага, а для симметричных и автошкалированных конусов позволяет существенно ускорить практическую сходимость длинным шагом.

  • Общая схема: Методы внутренней точки применяются к коническим задачам и генерируют последовательность итераций во внутренности выпуклого конуса, в отличие от методов, идущих по экстремальным точкам.Их применимость определяется наличием эффективно вычислимого самосогласованного барьера; короткий шаг имеет полиномиальную сложность.
  • Следование центральному пути: Для метода следования центральному пути барьер с параметром nu задает увеличение log tau на величину порядка nu^-1/2, или умножение tau на 1+O(nu^-1/2).Чем меньше параметр барьера nu, тем быстрее сходимость метода.
  • Итоговые условия: Для методов внутренней точки необходим эффективно вычислимый логарифмично однородный самосогласованный барьер с небольшим параметром nu; центральный путь заменяет коническое ограничение семейством вспомогательных задач.Каждая вспомогательная задача сводится к минимизации самосогласованной функции.
  • Специальные барьеры: На симметричных конусах стандартные барьеры имеют оптимальный параметр и являются автошкалированными, что обеспечивает особенно эффективные длинные шаги.Для универсального и канонического барьеров указаны конструкции с параметром nu=n; канонический барьер двойственен каноническому барьеру на двойственном конусе.
  • Сложность и варианты шага: Короткий шаг достигает заданной точности за O(sqrt(nu) log epsilon) итераций, тогда как автошкалированные барьеры позволяют выбирать шаги порядка расстояния до границы.На практике длинный шаг обычно требует всего нескольких десятков итераций и слабо зависит от размерности задачи.

2.10 Концепция неточной модели функции и методы градиентного типа для задач, допускающих существование таких моделей

Раздел развивает концепцию неточной модели функции и применяет её к неускоренным и ускоренным градиентным методам, включая композитную оптимизацию и неточное решение вспомогательных подзадач. Показано, что неускоренные методы не требуют 1-сильной выпуклости прокс-функции, тогда как ускоренные методы достигают оптимальных оценок, но чувствительнее к накоплению ошибок.

  • Модель функции и композитная оптимизация: Концепция модели функции переносит ускоренный градиентный метод на задачи композитной выпуклой оптимизации и даёт оценки сходимости, аналогичные случаю гладких выпуклых задач.Это позволяет описывать широкий класс задач через единое модельное неравенство.
  • Неускоренный метод: Неускоренный градиентный метод применим к задачам с неточной моделью в произвольной точке и не требует 1-сильной выпуклости прокс-функции.Выпуклость прокс-функции и условие модели обеспечивают оценки скорости, причём на достаточно широком классе относительно гладких выпуклых задач они оптимальны [147].
  • Прокс-функции и вспомогательные задачи: Прокс-функции, 1-сильно выпуклые на всём пространстве, позволяют применять неускоренные и ускоренные методы без предварительной локализации решения; при разреженности естественен выбор 1-нормы.Для вспомогательных подзадач при общих предположениях также можно добиться линейной скорости сходимости.
  • Ускоренный метод: Ускоренный метод оптимален с точностью до константы на гладких выпуклых задачах при точном оракуле, но при неточном оракуле может накапливать ошибки.Для алгоритма 2.12 указана константа 8, тогда как лучше константы примерно 1 получить нельзя.
  • Неточные подзадачи: Ускоренный метод оказывается более устойчивым к ошибкам решения промежуточных подзадач, хотя требуемая точность этих подзадач возрастает с номером итерации.Концепция приближённого решения позволяет учитывать влияние таких погрешностей на итоговый результат градиентных методов.
  • Регуляризация и рестарты: Метод решения сильно выпуклых задач можно применять к обычной выпуклой задаче через регуляризацию и рестарты ускоренного метода.Такой переход использует параметр регуляризации μ = ε/(2R^2) и обеспечивает ε-точное решение.

2.11 Другие концепции неточного градиента

Раздел сравнивает концепции неточного градиента: стандартная модель может давать плохие оценки даже для гладких сильно выпуклых задач, тогда как уточнённая модель обеспечивает достижение заданной точности при контролируемом накоплении ошибки. На примере некорректной обратной задачи показано, что такой неточный градиент вычисляется через две численно решаемые прямую и сопряжённую краевые задачи.

  • Концепции неточного градиента: Стандартная концепция неточного градиента не гарантирует хороших оценок даже для гладких сильно выпуклых задач без регуляризации или ранней остановки.В вырожденном режиме нижняя оценка содержит малую константу сильной выпуклости μ в знаменателе, а для ускоренных методов ожидаются ещё большие проблемы.
  • Концепции неточного градиента: f(x_k) − f(x*) = ε достигается для неускоренного и ускоренного методов при δ(2.115) ≃ ε/˜R за число итераций того же порядка, что и при точном градиенте.Это утверждение предполагает ограниченность максимального расстояния ˜R между генерируемыми точками и решением.
  • Концепции неточного градиента: При ограниченном ˜R уточнённая концепция контролирует ошибку, но в вырожденных задачах это ограничение может нарушаться; проблему смягчают регуляризация и ранняя остановка.Регуляризация с μ ≃ ε/R^2 приводит к ˜R ≃ R, а ранняя остановка используется как альтернативный способ ограничения накопления ошибки.
  • Пример: некорректная обратная задача: В некорректных обратных задачах градиент целевого функционала вычисляется приближённо, поскольку прямую и сопряжённую краевые задачи можно решать только численно.Для обратной задачи оценки коэффициента q по наблюдениям b задача оптимизации сводит вычисление градиента к решению задач (P) и (D).
  • Пример: некорректная обратная задача: Вычисление ∇𝔍(q)(y) сводится к решению двух корректных начально-краевых задач эллиптического типа на квадрате.Сначала решают прямую задачу (P), затем сопряжённую задачу (D) и получают градиент через сопряжённое решение.

Примеры задач

Раздел показывает применение выпуклой оптимизации к задачам оптимального транспорта, полиномиальной неотрицательности и полуопределённым релаксациям. Рассматриваются существование решений, выпуклые формулировки, точность и вычислительная сложность получаемых методов.

  • Оптимальный транспорт: Теория оптимального транспорта сравнивает вероятностные распределения с учётом геометрии пространств, а расстояние Васерштейна выражается через оптимум транспортной задачи.Релаксация Канторовича допускает расщепление масс и устраняет ограничение постановки Монжа на сравнение гистограмм одинакового размера; при общих предположениях решение существует.
  • Оптимальный транспорт: Задача нахождения барицентра Васерштейна формулируется как выпуклая оптимизация с доказанным существованием решения и эффективными численными методами.Полученная гладкая безусловная задача допускает ускоренные прямо-двойственные градиентные методы, восстанавливающие решение исходной задачи по последовательности в двойственном пространстве.
  • Полиномиальная неотрицательность: Для полиномов суммы квадратов линейно связаны с проекциями конусов положительно определённых матриц, а точное совпадение с конусом неотрицательных полиномов возникает лишь при min(d, n) ≤ 2 или (d, n) = (4, 3).Проверка принадлежности конусу неотрицательных матриц является ко-NP-полной, тогда как разреженность полинома часто позволяет использовать существенно меньшие матрицы.
  • Полуопределённые релаксации: Иерархия полуопределённых релаксаций для компактных множеств асимптотически точна при d→∞, но релаксация фиксированной степени может быть точной только при постоянной минимизируемой функции.Замена трудно описываемого условия набором полуопределённых и линейных необходимых условий даёт полуопределённую релаксацию исходной задачи.
  • Вычислительная сложность: Переход к двойственной задаче снижает сложность решения с O(n7) для исходной программы, поскольку уменьшение числа переменных компенсирует усложнение конуса.Для прямо-двойственной пары алгоритм гарантирует 2ε-приближённое решение исходной задачи при локализации двойственных переменных; разреженность дополнительно уменьшает стоимость итерации.

Учебное издание

Учебное издание включает сведения об авторах, редакторах и техническом выпуске; оно подписано в печать 11.06.2021 тиражом 250 экземпляров.

  • Выходные сведения: В издании указаны авторы Евгения Алексеевна Воронцова, Роланд Фалькович Хильдебранд и Александр Владимирович Гасников, а также редакторы и специалисты по корректуре и верстке.Редакторы: В. А. Дружинина, И. А. Волкова и О. П. Котова; корректор и специалист по компьютерной верстке — Н. Е. Кобзева; дизайн обложки — Е. А. Казённова.
  • Выходные сведения: 11.06.2021 издание подписано в печать; его формат — 60×84 1/16, объём — 22,75 условных печатных листа и 20,3 учётно-издательских листа, тираж — 250 экземпляров.Указан заказ №58.
  • Выходные сведения: Книга отпечатана в полном соответствии с предоставленным оригинал-макетом ООО «Печатный салон ШАНС» в Москве.В выходных сведениях приведены адрес типографии и телефон.
Loading 2106.01946v4…