Exponential Convex Calibration Dimension for the Multi-Label Jaccard Measure

Mingyuan Zhang

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Exponential Convex Calibration Dimension for the Multi-Label Jaccard Measure

Mingyuan Zhang

arXiv:2608.13549v12026년 8월 13일cs.LGstat.ML

TL;DR

이 논문은 분해 불가능한 multi-label Jaccard loss에 대한 calibrated convex surrogate에 필요한 prediction dimension이 얼마나 되는지 묻는다. MinHash Gram representation, Boolean Möbius inversion, calibration-dimension analysis를 결합해 exact calibration에는 지수적으로 많은 coordinate가 필요하지만, 고정된 regret 근사에는 polynomial dimension이면 충분함을 보인다.

문제
Jaccard loss는 예측 label set과 실제 label set 전체에 의존하므로, 논문은 conditional decision-theoretic setting에서 이 분해 불가능한 measure의 calibration을 연구한다.
방법
논문은 finite MinHash Gram representation과 Boolean Möbius inversion을 factorially weighted witness distribution과 결합해 rank와 convex calibration dimension을 분석한다.
결과
Exact calibration에는 Θ(2^s) prediction coordinate가 필요하며, signed MinHash square-loss surrogate는 regret floor α를 달성하고, 확률이 적어도 1 − ρ일 때 O((s + log(1/ρ))/α^2) dimension을 사용한다.
핵심 요점 및 한계
Zero-regret calibration에는 지수적인 prediction dimension이 필요하지만, 모든 고정 additive regret tolerance에는 polynomial prediction dimension이 가능하다.
핵심 요점 및 한계
Exact convex calibration dimension은 factor of two 이내에서 여전히 미해결이며, MinHash link는 여전히 2^s개 report를 탐색할 수 있다.

Abstract

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The per-instance Jaccard score, or intersection over union (IoU), is standard in multi-label classification and binary segmentation. With $s$ labels, its loss matrix has $2^s$ outcomes and reports. Under the convention $\mathrm{Jac}(\varnothing,\varnothing)=1$, we prove that the Jaccard score, shifted-loss, and ordinary loss matrices are nonsingular and that the loss columns have affine dimension $2^s-1$. The proof combines a finite MinHash Gram representation with Boolean Möbius inversion. For exact calibration, we prove $2^{s-1} \leq \mathrm{CCdim}(L^{\mathrm{Jac}}) \leq 2^s-1$. The lower bound uses a factorially weighted distribution with $2^{s-1}+1$ supported outcomes and Bayes-optimal reports. Consequently, every exactly calibrated convex surrogate requires exponentially many prediction coordinates. We also give two polynomial-dimensional approximation guarantees with explicit regret transfers. A new $F_1$-to-Jaccard transfer turns an existing $(s^2+1)$-dimensional $F_1$ surrogate into a polynomial-time rule with asymptotic Jaccard regret at most $3-2\sqrt{2}$. For any $α>0$ and $0<ρ<1$, a MinHash square-loss surrogate attains Jaccard-regret floor $α$ uniformly over arbitrary conditional label distributions. With probability at least $1-ρ$, the direct construction has dimension $O((s^2+s\log(1/ρ))/α^2)$, while a signed variant has dimension $O((s+\log(1/ρ))/α^2)$. Thus zero-regret calibration requires exponential dimension, whereas every fixed additive regret tolerance admits polynomial prediction dimension.

1 서론

이 절은 multi-label Jaccard/IoU가 exponential output space를 가지더라도 exact calibration dimension은 exponential인 반면, fixed-regret approximation은 polynomial prediction dimension으로 가능함을 보인다. Full matrix rank와 affine dimension 결과를 증명한 뒤, F1 기반 및 MinHash 기반 approximation guarantee를 전개한다.

정확한 구조: 2^s matrix rank와 2^s−1 affine dimension은 empty-set convention하에서 Jaccard score, shifted-loss, ordinary loss matrix를 특징짓는다.증명은 finite MinHash Gram representation과 Boolean Möbius inversion을 사용하며, affine-dimension bound는 2^s−1차원의 exactly calibrated surrogate를 제공한다.
정확한 calibration: 2^(s−1) ≤ CCdim(L^Jac) ≤ 2^s−1은 exact calibration에 대한 exponential lower 및 upper bound를 제공한다.Lower bound는 factorially weighted outcome, 동률인 Bayes-optimal report, 그리고 nonsingular principal score submatrix를 사용한다.
Polynomial approximation: O((s^2+s log(1/ρ))/α^2)는 probability at least 1−ρ에서 Jaccard-regret floor α를 달성하는 direct MinHash construction의 prediction dimension이다.Jaccard score matrix의 uniform MinHash approximation과 conditional feature-mean regression을 결합하면 asymptotic Jaccard regret가 at most α가 된다.
Polynomial approximation: O((s+log(1/ρ))/α^2)는 동일한 α 및 ρ 조건에서 signed MinHash variant의 prediction dimension이다.이 guarantee는 every α > 0 및 0 < ρ < 1에 대해 probability at least 1−ρ로 성립한다.

2 설정 및 calibration 배경

이 절에서는 2^s개의 outcome과 report에 대한 multi-label Jaccard 설정을 정립하고, 관련 score 및 loss matrix를 정의하며, calibration 용어를 도입한다. 또한 support, Bayes-optimal report, affine dimension, convex calibration dimension에 대한 표기법을 제시한다.

문제 설정: 이 framework에서는 s개의 label을 고정하므로 Y = 2^[s], N = 2^s개의 outcome이 되며, outcome과 report는 A, B ∈ Y인 subset이다.이 설정에서는 outcome space를 index로 하는 point mass, simplex distribution, all-ones vector를 사용한다.
문제 설정: Jaccard score matrix는 S이며 원소는 S_A,B = Jac(A, B)이고, Jaccard loss matrix는 L − U = −S를 만족한다.여기서 U는 all-ones matrix다.
표기법: Affine dimension은 유한 vector family와 matrix column에 대해 정의하며, restriction과 submatrix는 index가 부여된 vector와 matrix의 표기법을 제공한다.M = [m_1 · · · m_k]일 때, affdim(M) = affdim{m_1, . . . , m_k}다.
Calibration 배경: Distribution p에 대해 report B의 conditional risk는 p^⊤L_·,B이며, support는 supp(p) = {A ∈ Y : p_A > 0}이다.이 절에서는 Bayes-optimal report와 그 trigger probability set도 도입한다.
Calibration 배경: Convex calibration은 convex domain, convex coordinate function을 갖는 surrogate ψ, 그리고 link pred를 사용하며, CCdim(L)은 calibration을 지원하는 최소 prediction dimension으로 정의한다.이 정의는 Ramaswamy and Agarwal (2016)에 따른 것이다.

3 관련 연구

이 절은 유한 MinHash 및 Boolean Möbius 증명을 기존 Jaccard 행렬, instance-wise prediction, surrogate loss, convex calibration 연구의 맥락에 위치시킨다. 연구 대상인 instance-wise loss를 population formulation과 구분하고, exponential exact prediction-dimension lower bound의 새로움을 강조한다.

Jaccard 행렬과 MinHash: 기존 연구는 MinHash collision probability와 Jaccard similarity를 연결하고, complete nonempty Jaccard index matrix의 strict positive definiteness를 확립했다.이 논문은 대신 MinHash와 Boolean Möbius inversion을 사용한 유한 증명을 제시한다.
Instance-wise Jaccard prediction: 임의의 conditional joint distribution에서 Jaccard-risk minimization은 어렵고, empirical Bayes-optimal prediction은 계산적으로 어려운 Jaccard-median problem이다.기존 연구는 empirical problem을 위한 approximation algorithm도 제시했다.
Instance-wise Jaccard prediction: 이 연구에서 다루는 loss는 conditional distribution 아래에서 outcome–report evaluations를 평균내며, micro- 및 instance-averaged linear-fractional metric의 population-confusion 또는 expected-utility formulation과 다르다.이러한 대안적 formulation에는 threshold 및 calibrated-utility method를 적용할 수 있다.
IoU를 위한 Convex surrogate: Lovász hinge와 Lovász–Softmax는 IoU에서 동기를 얻은 다루기 쉬운 objective를 제공하지만, empirical usefulness만으로는 finite instance-wise loss에 대한 calibration을 확립하지 못한다.의도한 structured target에 대한 Lovász hinge는 underlying set function이 modular인 경우가 아니면 inconsistent하다.
Prediction dimension: Convex calibration dimension은 trigger-set geometry를 통해 발전했으며, exact F1 prediction dimension은 quadratic인 반면 이 논문의 Jaccard bounds는 exponential이다.이 논문은 Jaccard에 특화된 tied-Bayes-report family를 적용하며, instance-wise Jaccard loss에 대한 기존 exponential lower bound는 보고되지 않았다고 밝힌다.

4 정확한 rank와 affine dimension

Jaccard score, shifted-loss, ordinary loss matrix는 모두 nonsingular이며, score column과 loss column의 affine dimension은 각각 2^s−1이다. 이 정확한 rank 결과에 따라 empty-set score convention Jac(∅,∅)=1에서 calibration dimension의 상한은 2^s−1이다.

정확한 rank: 2^s−1: nonempty-set Jaccard score submatrix는 positive definite이며 rank는 2^s−1이다.이를 finite MinHash Gram matrix로 나타내고 Boolean Möbius inversion을 적용한다.
정확한 rank: 2^s: full score matrix S와 shifted-loss matrix L−U는 nonsingular이며, ordinary loss matrix L도 nonsingular이다.Ordering the empty set first gives S = diag(1,K), and the loss kernel equations force every null vector to vanish.
Affine dimension: 2^s−1: 2^s개의 score column과 loss column은 각각 affine dimension 2^s−1을 갖는다.score column은 linearly independent이며, invertible affine map x ↦ 1_N−x가 그 dimension을 loss column으로 전달한다.
Calibration dimension: 2^s−1: exact Jaccard calibration dimension은 2^s−1로 upper-bounded된다.동치로, 임의의 2^s-class conditional distribution을 2^s−1개 coordinate로 추정한 뒤 estimated Jaccard risk를 최소화해 decode할 수 있다.

5 지수적 calibration dimension 하한

이 절에서는 multi-label Jaccard loss의 exact convex calibration에 지수적으로 많은 prediction coordinate가 필요함을 보인다. factorial 가중 witness가 하한을 제공하며, 두 bound의 차이는 2배 이내이고 polynomial-dimensional exact calibrated surrogate는 배제된다.

하한 witness: factorial 가중 distribution과 empty outcome을 혼합해 2^{s−1}+1개의 Bayes-optimal report를 만든다.factorial distribution에서는 고정된 core label을 포함하는 report들이 동률을 이루며, 이후 mixture를 통해 empty report도 동률이 되게 한다.
Theorem 5.2: 모든 s ≥ 1에 대해 2^{s-1} ≤ CCdim(L^Jac) ≤ 2^s−1이므로, CCdim(L^Jac) = Θ(2^s)이다.하한은 factorial witness에서 나오며, 상한은 Corollary 4.3에서 따른다.
하한 witness: witness distribution에서 active loss column의 affine dimension은 2^s−1이며, 이는 지수적 하한을 확립한다.The active score submatrix is nonsingular, and the feasible-subspace argument leaves no nonzero two-sided feasible direction.
간극과 함의: 두 bound의 차이는 2배 미만이지만, exact convex calibration dimension과 개선된 constant는 여전히 미해결이다.이 결과는 모든 conditional label distribution에 대해 uniformly exact calibrated인 polynomial-dimensional convex surrogate를 모두 배제한다.
Alternative convention: Jac(∅,∅) = 0으로 두는 alternative empty-set convention에서도 지수적 결론은 변하지 않는다.empty outcome을 mixture에 포함하지 않아도 동일한 factorial witness가 적용된다.

6 다항 차원 근사 surrogate

이 절에서는 exact calibration 요구를 0이 아닌 distribution-free Jaccard-regret floor로 대체하고 다항 차원의 근사 surrogate를 전개한다. F1 surrogate의 보장을 전이하고 direct 및 signed MinHash square-loss surrogate를 구성하며, decoding과 zero-floor의 한계도 논의한다.

근사 일관성: 이 접근법은 기존 F1 surrogate와 regret transfer를 새로운 다항 차원 MinHash surrogate와 결합해 근사 Jaccard 일관성을 달성한다.The guarantees target a nonzero, distribution-free regret floor rather than exact calibration.
F1-to-Jaccard transfer: 정제된 F1-to-Jaccard transfer에 따른 F1-Bayes classifier의 Jaccard-regret 보장은 3 − 2√2 ≈ 0.1716이다.이 transfer는 approximate F1 optimization에도 적용되지만 F1-최적 report와 Jaccard-최적 report가 일치하지 않을 수 있다.
MinHash construction: direct MinHash construction에서는 O((s^2+s log(1/ρ))/α^2) prediction dimension으로 확률 1 − ρ 이상에서 α-근사 일관성을 달성할 수 있다.이 construction은 finite-sample uniform MinHash approximation을 사용하며 동일한 보장을 갖는 고정 deterministic feature map을 허용한다.
MinHash construction: Rademacher-compressed MinHash surrogate에서는 O((s+log(1/ρ))/α^2) dimension으로 확률 1 − ρ 이상에서 충분하다.ρ = 1/2로 고정하면 dimension O(s/α^2)인 deterministic pair를 얻는다.
한계: 고정된 α > 0에서는 MinHash prediction dimension이 다항식이지만, exact decoding은 여전히 모든 2^s report에 대해 maximization을 수행할 수 있으며 implicit polynomial-time decoding guarantee는 없다.표시된 dimension이 α가 0에 가까워질수록 증가하므로 zero-floor lower bound와 모순되지 않는다.

7 결론

결론은 정확한 Jaccard calibration에 지수적으로 많은 prediction coordinates가 필요하지만, 근사에서는 nonzero regret로 polynomial dimension을 달성할 수 있음을 보인다. 정확한 calibration dimension과 효율적인 low-floor inference는 여전히 미해결이다.

정확한 calibration: 정확한 calibration에는 Θ(2^s)의 prediction coordinates가 필요하며, 정확한 CCdim(L^Jac)은 여전히 2배 범위 안에서 미해결이다.유한 MinHash Gram representation과 Boolean Möbius inversion으로부터 maximal rank와 affine dimension이 따른다.
근사: 3 − 2sqrt(2)는 F1 surrogate를 Zhang et al.의 polynomial-time decoder로 변환해 얻는 asymptotic Jaccard-regret bound다.이는 정확한 calibration이 아닌 polynomial-dimensional approximation guarantee를 확립한다.
근사: signed MinHash square-loss surrogate가 probability at least 1 − ρ로 regret floor α를 달성하는 데 O((s + log(1/ρ))/α^2) dimensions면 충분하다.이 guarantee는 any α > 0 및 0 < ρ < 1에 대해 성립한다.
미해결 문제: MinHash approximation은 inference complexity를 해결하지 못한다. 그 link가 여전히 2^s reports를 탐색할 수 있기 때문이다.다음 단계로는 arbitrarily small floors를 갖는 efficient links, matching approximate-dimension lower bounds, 그리고 CCdim factor-of-two gap 해소가 제안된다.

A 정확한 rank 결과의 증명 · A.1 Lemma 4.1의 증명

이 증명은 유한 MinHash Gram 표현과 Boolean Möbius inversion을 통해 nonempty-set Jaccard 행렬의 strict positive definiteness를 보인다. 또한 quadratic form이 0이면 모든 coordinate가 사라짐을 보인다.

A.1 Lemma 4.1의 증명: 증명은 nonempty set에 대한 MinHash identity에서 시작하며, Jaccard similarity를 permutation 기반 minima의 일치와 연결한다.union의 첫 번째 원소는 uniform이고, 그것이 intersection에 속할 때 정확히 minima가 일치한다.
A.1 Lemma 4.1의 증명: 각 permutation과 index에 대해, 증명은 pairwise product가 MinHash agreement를 encode하는 column vector를 정의한다.이 vector는 관련 construction을 통해 nonempty set 쌍으로 index된다.
A.1 Lemma 4.1의 증명: 이렇게 얻은 outer product의 유한 합은 행렬 K의 Gram representation을 제공하므로, K는 positive semidefinite이다.두 MinHash가 일치하는지를 index에 대한 합이 기록하기 때문에 Gram representation이 성립한다.
A.1 Lemma 4.1의 증명: x⊤Kx = 0이면 유한 Gram 합에 포함된 모든 nonnegative square가 0이어야 한다.Thus, the inner product of x with every constructed vector hπ,j vanishes.
A.1 Lemma 4.1의 증명: 특정 permutation을 구성해 T 바깥의 원소와 T 안의 원소 사이에 j를 배치하면, 첫 번째 원소가 j인 집합을 정확히 식별할 수 있다.T ⊆ [s] \ {j}에 대해 이 집합들은 {j} ∪ R이며, R ⊆ T이다.
A.1 Lemma 4.1의 증명: 이어서 Boolean Möbius inversion은 모든 T에 대해 x_{\{j\}∪T} = 0을 강제한다.이는 모든 j와 T ⊆ [s] \ {j}에 대해 성립한다.
A.1 Proof of Lemma 4.1: Because every nonempty set contains some j, all coordinates of x vanish, proving K ≻ 0.The nullspace is therefore trivial, upgrading positive semidefiniteness to positive definiteness.

A.2 정리 4.2의 증명 · B 팩토리얼 balancing 항등식의 증명

증명은 score column의 독립성과 가역 affine transformation을 이용해 Jaccard loss matrix의 nonsingularity와 full affine dimension을 확립한다. 또한 subset decomposition, factorial-sum 조작, Vandermonde’s identity를 통해 factorial balancing 항등식을 증명한다.

A.2 정리 4.2의 증명: Lemma 4.1에 따라 rank(S) = rank(L − U) = N이며, 따라서 S는 nonsingular이다.이는 shifted-loss matrix에 필요한 full rank를 확립한다.
A.2 정리 4.2의 증명: N개의 score column은 선형 독립이므로 affine 독립이기도 하며, 이에 따라 affdim(S) = N − 1이다.증명에서는 empty set을 먼저 배치하고, 모든 nonempty set에 대해 그 zero score를 이용한다.
A.2 정리 4.2의 증명: 각 score column에 z 7→ 1_N − z를 적용하면 대응하는 affine structure가 보존되고 affdim(L) = N − 1을 얻는다.이 map은 invertible이며 score column을 loss column으로 보낸다.
B 팩토리얼 balancing 항등식의 증명: 모든 D ⊆ [n]은 D = I ⊔ E로 uniquely decomposed되며, I = D ∩ C이고 E = D \ C이다.이 decomposition은 C 내부와 외부의 기여를 분리한다.
B 팩토리얼 balancing 항등식의 증명: |C ∩ D| = i, |C ∪ D| = c + j, |D| = i + j로 쓰면 항등식은 i와 j로 index된 합으로 축약된다.고정된 i와 j에 대해 증명에서는 E에 대한 해당 선택의 수를 센다.
B 팩토리얼 balancing 항등식의 증명: i와 무관한 항을 묶어내면 equation (38)의 factorial sum이 나오며, c + j + 1을 곱한 뒤 그 명제가 검증된다.검증에서는 c + j + 1 = (j + r + 1) + (c − r)를 사용한 다음, 결과 합들을 결합한다.
B 팩토리얼 balancing 항등식의 증명: d = j + r로 설정하면 denominator는 (d + 1)!이 되고, Vandermonde’s identity는 admissible pair에 대한 binomial coefficient를 합산한다.새 index의 범위는 0부터 n까지이며, 결과 double sum은 (6)의 우변과 같다.

C 지수적 하한의 증명 … D.2 Lemma 6.2의 증명

하한 증명은 factorially weighted distribution을 구성해 Bayes-optimal report에 2^(s−1)+1개의 outcome이 포함되도록 한 뒤, 필요한 active-column independence를 확립한다. 근사 증명은 F1 regret로부터 population Jaccard-regret transfer를 도출하고, Hoeffding’s inequality와 union bound를 통해 uniform MinHash concentration bound를 얻는다.

C 지수적 하한의 증명: factorially weighted distribution을 core label을 중심으로 고정하고, 나머지 label로 support construction을 구성한다.증명에서는 core label을 1로 설정하고 O = [s] \ {1}을 정의하며 n = s − 1을 사용한다.
C 지수적 하한의 증명: 구성된 support의 모든 report는 factorial distribution에서 동률을 이루지만, support 밖의 report는 엄밀히 최적이 아니다.empty report는 별도로 동률을 이루기 전에는 score가 0이며, core label을 누락한 nonempty report는 score에서 엄밀한 불이익을 갖는다.
C 지수적 하한의 증명: empty outcome을 혼합한 뒤 Bayes-optimal report는 정확히 empty report와 support U가 되며, 총 2^(s−1)+1개의 outcome이다.구성된 distribution에서는 empty report와 U의 모든 report가 동일한 expected score를 갖고, 나머지 report는 모두 더 낮은 score를 갖는다.
C 지수적 하한의 증명: active score submatrix는 nonsingular이므로, |A|개의 column은 linearly independent이고 affine dimension |A| − 1을 갖는다.lower-right block은 positive-definite matrix의 principal submatrix이므로 nonsingularity가 성립한다.
C 지수적 하한의 증명: feasible two-sided perturbation은 A 밖에서의 zero motion, 보존되는 normalization, 모든 active comparison의 동등성으로 특징지어진다.충분히 작은 perturbation에서는 strict inactive risk gap이 여전히 strict하게 유지되고, active equality도 보존된다.
D.1 Proposition 6.1의 증명: F1-to-Jaccard transfer는 concave population-level function H로 conditional regret을 bound한 뒤 Jensen’s inequality를 적용해 얻어진다.Jensen’s inequality로 population bound를 얻기 전에 conditional law pX와 classifier h를 conditional inequality에 대입한다.
D.1 Proposition 6.1의 증명: F1-Bayes classifier에 대해 population Jaccard regret은 c⋆ 이하이다.증명은 conditional-to-population regret transfer로부터 RegJac(h) ≤ H(0) = c⋆를 도출한다.
D.2 Lemma 6.2의 증명: Hoeffding’s inequality는 각 MinHash outcome–report pair를 제어하고, 4^s ordered pairs에 대한 union bound는 concentration guarantee를 제공한다.증명에서는 |Y|^2 = 4^s ordered pairs를 세고, 그 결과의 bound를 M에 대해 푼다.

D.3 정리 6.3의 증명 · D.4 따름정리 6.4의 증명 · E 대안적 empty-set convention

정리 6.3은 uniform MinHash approximation과 square-loss regret로부터 Jaccard-regret 보장을 도출하여 approximate consistency와 명시된 dimension order를 갖는 고정 feature-map realization을 확립한다. 따름정리 6.4는 signed features로 논의를 확장하며, 대안적 empty-set convention에서도 full loss rank가 유지되고 2^s−1 calibration lower bound가 얻어진다.

D.3 정리 6.3의 증명: D.3 정리 6.3의 증명: Uniform MinHash approximation은 Bayes-optimal report를 선택한 뒤 Cauchy–Schwarz를 사용하여 score 차이를 feature-space distances로 변환한다.예측 b_B는 feature inner product를 최대화하며, 각 block은 scaled standard basis vector다.
D.3 정리 6.3의 증명: D.3 정리 6.3의 증명: Nonnegative feature coordinates는 pairwise feature distance가 bounded by 2임을 뜻한다.이 bound는 norm expansion과 nonnegative inner products에서 따른다.
D.3 정리 6.3의 증명: D.3 정리 6.3의 증명: Square-loss bias–variance identity는 conditional surrogate risk가 u = µ_p에서 minimized at u = µ_p임을 보이며, 관련 distance를 square-loss regret와 동일시한다.평균을 취하면 cross term이 사라지고, 남은 항은 u와 무관하다.
D.3 정리 6.3의 증명: D.3 정리 6.3의 증명: η = α/2로 두면 vanishing surrogate regret가 approximate consistency로 전환되고 정리의 feature-dimension order를 얻는다.증명에서는 ceiling을 취하고 block size s + 1을 곱한 뒤, positive-probability approximation event를 사용하여 하나의 realization을 고정한다.
D.4 따름정리 6.4의 증명: D.4 따름정리 6.4의 증명: Signed MinHash features는 expected inner product Jac(A, B)를 가지며, Hoeffding’s inequality와 union bound가 uniform approximation을 제공한다.각 permutation에 조건부로, sign product는 hash가 일치할 때 expectation이 one이고 그렇지 않으면 zero이며, summands는 [−1, 1]에 속한다.
D.4 따름정리 6.4의 증명: D.4 따름정리 6.4의 증명: Feature distance를 2로 bound하고 η = α/2로 두면 정리 6.3이 signed features에 applies unchanged.그 결과인 approximation 및 sample-size conditions는 equations (32)–(33)에 명시된 것과 같다.
E 대안적 empty-set convention: E 대안적 empty-set convention: Jac(∅, ∅) = 0이면 score matrix의 rank는 N − 1, affine dimension은 N − 1인 반면, loss matrix의 rank는 rank N이다.Empty score column은 zero이고 나머지 score columns는 independent이며, loss-kernel argument는 null vector가 vanish하도록 강제한다.
E 대안적 empty-set convention: E 대안적 empty-set convention: Factorial distribution에서 empty outcome을 생략하면 calibration lower bound 2^s−1 −1을 얻지만, affine-dimension upper bound는 여전히 2^s −1이다.Supported outcomes와 exact Bayes-optimal reports는 모두 size 2^s−1이고, restricted active score matrix는 positive definite다.