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Information-Induced Training Geometry: Exact Reduction, Canonical Completion, and Structured Expressivity
Zavier Li
TL;DR
Training data는 visible cotangent space만 드러내므로 full optimizer geometry는 미결정 상태로 남는다. 이 논문은 affine-invariant geometry 아래 full-column-rank SPD compression을 연구하고 canonical completion과 exact reduction을 도출한다. 또한 metric submetry가 universal radial-visible reduction을 규정하며, visibility가 변화를 강제하지 않는 곳에서는 canonical completion이 reference를 보존함을 보인다.
문제
Visible positive target은 full cometric을 제약하지만 ambient geometry의 전체 fiber는 미결정 상태로 남긴다.
방법
이 논문은 affine-invariant Riemannian metric을 갖는 SPD cone 위의 full-column-rank linear channel을 submetry와 coherent-section theory를 사용해 분석한다.
결과
Canonical completion은 visible target과 양립하면서 선언된 reference를 가장 적게 affine-invariant하게 변형하며, exact lossless reduction을 뒷받침한다.
핵심 요점 및 한계
Exact information reduction에는 metric submetry가 필요하지만, 의미 있는 completion은 reference-dependent이며 제약되지 않은 방향을 보존한다.
핵심 요점 및 한계
이 completion은 first-order oracle이 visible target을 유일하게 결정한다거나 reference가 reference-free라고 주장하지 않는다.
Abstract
from arXiv · showhide
Training data constrains optimizer geometry through the covectors visible to a declared information channel. We study how such partial information determines a full positive cometric relative to a reference and which degrees of freedom remain unidentified. Our central result resolves full-column-rank positive-definite compression under affine-invariant Riemannian geometry. The compression map is a split-Hadamard metric submetry and admits an explicit unique completion that is the affine-invariant nearest full geometry realizing a visible target and yields exact full-to-visible variational reduction. When the channel moves, the completions form a gauge-invariant rank stratification of the positive-definite cone. Its closed-form pullback pair metric separates visible-metric motion from subspace rotation through a reference-mismatch weight, yields an explicit positive-semidefinite multi-direction Gram matrix, and exposes the precise singularity of reference-valued modes. The mechanism is explained by a metric theorem equating ball submetry, attained fiber distance, and lossless reduction of every monotone radial visible decision problem. A smooth split-Hadamard theorem supplies coherent information sheets, proximal commutation, and solution-wise gradient-flow lifting. The positive-definite realization also gives closed-form prior-data shrinkage. Diagonal and block optimizer families reduce to relative-interior conic image tests with valid facial certificates, while deterministic and finite-sample bounds quantify recovery of the visible geometry and its subspace. Together these results characterize exact reduction, reference-dependent completion, and structured expressivity for the stated finite-dimensional affine-invariant model.
1 서론
이 논문은 부분적으로 관측된 loss covector가 전체 training cometric을 어떻게 결정하는지 연구하며, canonical affine-invariant completion과 exact visible reduction을 확립한다. 또한 이 framework를 moving channel, abstract Hadamard mechanism, structured expressivity, recovery guarantee로 확장한다.
- 동기: 선언된 visible target은 example loss differential의 span 위 cometric만 제약하므로, 전체 full-cometric fiber는 완전히 미결정으로 남는다.visible cotangent space의 annihilator는 해당 parameter point에서 모든 example loss에 보이지 않는다.
- 일반 mechanism: Metric submetry는 attained fiber distance와 universal radial-visible reduction으로 특징지어지며, complete horizontal leaf는 coherent isometric section을 제공한다.이 section은 proximal map과 정확히 commute하며 Hadamard manifold 위 gradient-flow solution을 lift한다.
- Exact SPD reduction과 completion: 모든 full-column-rank SPD compression은 unique AIRM-nearest completion과 exact full-to-visible decision reduction을 갖는 split-Hadamard submetry다.이 completion은 closed-form prior–data shrinkage와 invisible ambiguity에 대한 radius-conditioned minimax identity도 지원한다.
- Moving-channel geometry: Moving-channel completion은 SPD cone을 rank(P−P0)에 따라 stratify하며, pair metric은 reference mismatch를 통해 visible-metric change와 subspace rotation을 분리한다.Reference-valued mode는 rotation cost가 0이며 정확히 singular direction이다. Polarization은 rank 및 kernel criterion을 갖는 positive-semidefinite Gram matrix를 산출한다.
- 범위: 이 이론은 positive visible target이 선언된 뒤 시작하며 Fisher, Gauss–Newton, covariance, damping, audit construction을 서로 동일시하지 않는다.Moving-reference formula는 optimizer evolution law가 아니라 kinematic formula이며, exact reduction은 optimizer가 선택하는 visible decision을 규정하지 않는다.
2 관련 연구
이 논문은 Riemannian submetry, information geometry, SPD geometry, structured optimization을 기반으로 하지만, 압축된 positive cometric의 서로 다른 reference-dependent completion을 연구한다. 또한 metric-submetry reduction, moving-channel geometry, implementability certificate로 이러한 기반을 확장한다.
- Riemannian submersion과 submetry: 고전적 Riemannian submetry는 이 논문의 ball-surjectivity framework에 동기를 부여하며, 이 framework는 variational characterization으로 확장된다.관련 geometric literature는 metric submetry와 smooth Riemannian submersion을 연결한다.
- Information geometry와 natural gradient: Fisher, natural-gradient, sufficiency 기반 연구와 달리, 이 논문은 finite-dimensional positive cometric, compression A^T P A, reference-dependent AIRM completion을 연구한다.기존 연구는 information-geometric 동기를 제공하는 반면, 이 논문은 전체 invisible fiber의 completion을 다룬다.
- SPD geometry와 matrix completion: sparsity 기반 matrix completion과 달리, 이 논문은 AIRM-nearest reference geometry를 선택하여 전체 invisible fiber를 completion하고, 이를 horizontal metric-submetry section으로 규정한다.Totally geodesic SPD submanifold는 관련 geometric context를 제공하지만, 이 논문은 transverse affine-compression fiber와 radial-visible reduction도 추가로 해명한다.
- Quotient geometry: moving-channel construction은 fixed-rank PSD quotient geometry와 달리 displacement P − P0를 stratify하여 indefinite displacement를 허용하고, reference-valued kernel을 갖는 mismatch-weighted line element를 산출한다.그 weight는 ambient AIRM geometry의 pullback에서 유도되는 R + R^-1 − 2I이다.
- Structured preconditioning과 recovery: Structured optimizer family는 convex 및 semidefinite certificate를 사용하여 diagonal, block, matrix, tensor restriction이 선언된 visible target을 실현할 수 있는지 검증한다.Subspace perturbation 및 covariance concentration 도구는 visible SPD error와 subspace rotation을 분리하는 recovery bound도 뒷받침한다.
3 정확한 정보 축약의 Metric 기초
Metric submetry는 모든 reference-radial visible decision problem을 손실 없이 보존하는 observation map이며, coherent section은 canonical lift와 정확한 optimization dynamics를 제공한다. Surjectivity, exact distance preservation, sheet coherence는 서로 다른 요구사항이다.
- 최대 exact information reduction: Metric submetry는 attained exact fiber distances 및 모든 nondecreasing radial visible-functional decision problem의 lossless reduction과 동치다.이는 nonexpansive surjection보다 강하다. 모든 visible displacement에 대해 초과 거리 없이 ambient lift가 존재하기 때문이다.
- 최대 exact information reduction: Universal exact-reduction theorem은 sharp하다. Hard ball cost와 singleton visible loss가 full ball-surjectivity를 복원하므로, 이 characterization은 cannot be enlarged하다.
- Coherent exact reduction: Coherent section identity 아래에서, reduced minimizer가 full minimizer로 lift되고 reduction equality가 성립할 때에만 모든 section이 isometric embedding이다.이러한 동치 조건이 성립하면 observation map은 metric submetry가 되며, unique nearest point가 추가로 lift를 canonical하게 선택한다.
- Coherent exact reduction: Coherent proximal iteration은 visible iteration의 exact lift이며, 명시된 rigidity 및 existence assumption 아래에서 full proximal dynamics도 이 exactness를 계승한다.
- 세 가지 상이한 요구사항: Surjectivity는 visible representative를 제공하고, submetry는 exact distance를 제공하며, coherence는 재사용 가능한 canonical sheet를 제공한다. 추가 assumption 없이는 어느 하나도 다른 둘을 함의하지 않는다.
4 Split-Hadamard 정보 사상
Split-Hadamard 사상은 수평 잎이 완비이고 완전측지인 전역적이며 holonomy-free 구조를 제공하여, 강직한 coherent information sheet를 만든다. 이 사상은 unique shortest completion, 정확한 radial 및 proximal reduction, 해별 gradient-flow lifting을 갖는 metric submetry다.
- 정의와 기하: Split-Hadamard 사상은 선형 또는 compact fiber를 요구하지 않으면서, 적분가능한 수평 분포와 완비이고 완전측지인 maximal leaf를 요구한다.이 조건은 visible 방향과 invisible 방향 사이의 holonomy를 배제한다.
- 전역 section: 각 수평 잎은 visible manifold로 전역적 등거리 사상되며, 모든 점을 지나는 unique horizontal이고 isometric하며 totally geodesic인 section을 갖는다.완비성과 Hadamard uniqueness는 수평 lift의 전역적 확장과 injectivity를 보장한다.
- Metric completion: 이 사상은 metric submetry이며, 그 section은 각 visible point의 unique shortest completion을 제공한다.Riemannian-submersion 길이 수축에서의 등호는 최단 ambient geodesic이 수평이어야 함을 강제한다.
- Variational reduction: 모든 reduced minimizer는 section을 통해 lift되며, strictly increasing radial loss 아래에서 이러한 lift는 정확히 모든 finite-valued full minimizer다.이 결과는 universal radial reduction에 적용되며, loss의 finite domain에서 strict monotonicity를 갖는다.
- Optimization dynamics: Moreau envelope와 proximal map은 정확히 commute하며, visible gradient-flow solution은 동일한 existence interval에서 lift되고 visible gradient가 locally Lipschitz이면 유일하다.proper lower-semicontinuous geodesically convex bounded-below ϕ에 대해 z = s_x ◦ y가 lifted flow를 푼다.
5 SPD 정보 압축과 canonical completion
full-column-rank channel에서 SPD compression은 AIRM-nearest이고 기하학적으로 정확하며 lossless visible decision reduction을 지원하는, reference에 의존하는 유일한 canonical completion을 갖는다. 이 이론은 invisible update freedom, Gaussian-KL equivalence, prior–data geodesic regularization도 규명하는 한편, reference-free completion이 불가능함을 보인다.
- Reference 의존성과 ambiguity: (W,R)에만 의존하는 completion rule은 W를 고정하는 모든 automorphism 아래에서 invariant일 수 없으므로, canonical ambient completion에는 P0과 같은 추가 구조가 반드시 필요하다.이에 대응하는 local ambiguity model은 reference가 선택한 completion을 중심으로 하며, reference-free uncertainty set이나 minimax center가 아니다.
- Complete SPD information-compression theorem: Theorem 5.2는 유일한 canonical completion Ψ_P0,A(R)을 확립하며, 이는 visible target R을 실현하는 AIRM-nearest full SPD다.이 completion은 P0에 대해 선택된다. visible target R은 입력이며 first-order oracle에 의해 유일하게 결정되는 것이 아니다.
- Complete SPD information-compression theorem: Compression은 split-Hadamard다. Ψ_P0,A는 isometric totally geodesic embedding이며, visible AIRM geodesic은 유일한 horizontal ambient lift를 갖는다.이 구성은 orthogonal compression 아래 whitened Frobenius norm의 contraction에서 등식이 성립하는 것으로부터 따른다.
- Complete SPD information-compression theorem: 모든 reduced minimizer는 canonical하게 lift되며, strictly increasing radial penalty 아래에서는 모든 finite-valued full minimizer가 canonical이 되어 exact radial decision reduction을 이룬다.이는 admissible channel/reference family, nondecreasing radial function, extended-real visible functional에 적용된다.
- Visible update quotient와 invisible drift: visible update는 ker A^⊤ modulo에서 고정되는 반면, ker A^⊤의 모든 invisible component는 feasible하다. canonical representative에는 invisible component가 없다.따라서 information channel은 유일한 full update가 아니라 update quotient를 식별한다.
- Gaussian KL과 prior–data completion: 동일한 completion은 Gaussian KL을 유일하게 최소화하며 prior–data geodesic regularization을 지원하고, minimum value τ(1−τ)D²와 perturbation bound τd_AI(R1,R2)를 갖는다.Gaussian 해석에서는 invisible coordinate에 대한 reference conditional law를 유지한다.
6 Gauge, Rank Strata, and Moving Information
정보 채널을 이동시키면 완전한 rank stratification과 명시적 quotient metric을 갖는 gauge-invariant completion bundle이 얻어진다. 이 geometry는 visible target의 이동과 subspace rotation을 분리하는 한편, singular reference-valued mode와 covariant moving-reference behavior를 식별한다.
- Completion bundle과 rank stratification: Completion parameterization은 regular subset에서 diffeomorphism이며, GL(m)을 제외하면 intrinsic inverse를 갖고, 그 strata는 전체를 소진하며 닫힌다.visible mode이 reference value와 같아지면 regularity가 실패하여 전체 descriptor가 redundant해진다.
- Completion-pair metric: Pullback affine-invariant metric은 visible-target changes와 visible-subspace rotations를 분리하여, regular quotient에서 이 motion block들을 직교하게 만든다.normalization과 horizontal gauge fixing 이후 metric은 regular subset에서 genuine quotient metric이 된다.
- Completion-pair metric: 임의의 유한한 direction 집합에 대해 completion-feature Gram matrix는 positive semidefinite이며, rank는 completion feature들의 span dimension과 같다.이는 direct-sum Frobenius representation을 통해 pair metric을 명시적으로 multi-directional하게 기술한다.
- Singularities와 control: singular descriptor에서는 reference-valued visible mode의 rotation이 completed matrix로부터 unidentifiable하지만, ambient SPD manifold와 AIRM은 여전히 smooth하다.spec(R)가 1에서 positive distance를 유지하고 R의 eigenvalue가 bounded이면 subspace motion을 정량적으로 제어할 수 있다.
- Reduced value 대 completion motion: Reduced completion value에는 독립적인 information-subspace coordinate가 포함되지 않는 반면, pair metric은 explicit canonical minimizer의 motion을 측정한다.completion kernel은 repeated eigenvalue를 포함한 모든 positive-definite R에 대해 analytic하며, 동일한 identity는 gauge-covariant moving-reference form도 갖는다.
G′ 아래
G′ 아래에서 고정 기준·고정 rank geometry는 frame과 무관한 kinematic energy decomposition을 갖는다. 연속적인 rank 손실은 reference geometry에 접근하는 visible mode으로 제한되며, dynamical learning 또는 control에는 추가적인 evolution rule이 필요하다.
- G′ 아래: 고정 기준·고정 rank curve는 정확한 에너지 분해를 허용하며, 그 결과식은 moving frame과 무관하다.line element는 completion bundle 위의 kinematic identity다.
- G′ 아래: 연속적인 rank 손실은 reference geometry에 접근하는 visible mode을 통해서만 발생할 수 있다.active rank가 최소 r만큼 감소하면, R_t−I의 singular value 중 최소 r개가 0으로 수렴한다.
- G′ 아래: geometric identity만으로는 (P_0, A, R)에 대한 learning 또는 control dynamics를 정의할 수 없다.이 변수들에는 추가적인 evolution rule이 필요하다.
7 구조화된 표현력 인증서
구조화된 optimizer family가 표현력을 갖는 조건은 visible target이 적절한 relative-interior cone image에 놓이는 경우와 정확히 일치한다. Diagonal family와 block family는 attained minimum과 facial certificate를 허용하며, strict infeasibility와 semidefinite structure가 필요한 boundary target을 구분한다.
- Diagonal expressivity: Diagonal structured complexity가 유한한 조건은 visible target이 strictly positive representation R = Σ_j p_jG_j를 갖는 경우와 정확히 일치한다. G_j가 independent이면 해당 representation은 유일하다.유한한 경우 infimum은 attained된다.
- 대각 표현력: 대각 대상에는 두 가지 실패 증명이 있다. strict separation은 실현 불가능성을 입증하고, facial exposure는 표현 과정에서 일부 대각 가중치가 사라져야 하는 경계 대상을 식별한다.두 번째 증명은 영상 원뿔의 span 위에서 자명하지 않으며, 대상을 포함하는 진부분을 드러낸다.
- Diagonal example: End-to-end example은 unique nearest full-SPD realization을 갖는 visible request이지만, separating functional로 인증되는 semidefinite diagonal realization만 가능한 경우를 보인다.모든 feasible full geometry는 동일한 visible update를 공유하는 반면, invisible component는 ker A⊤ 안에서 변하며 exact reduction과 invisible drift를 보여준다.
- Block expressivity: Block cometric에서 finiteness는 R이 closed block cone의 relative interior에 놓이는 조건과 동치이며, 이는 positive-definite block으로 realization되는 조건과도 동치다. Infimum은 attained된다.Cone 안에 있지만 relative interior 밖에 있는 boundary target은 semidefinite realization을 허용하지만 strictly positive optimizer block으로는 도달할 수 없다.
- Certificates and scope: Diagonal certificate와 block certificate는 finite-dimensional linear 또는 semidefinite feasibility system으로 환원되는 반면, Kronecker, low-rank, tensor family는 별도의 image geometry를 필요로 한다.Algorithmic complexity와 numerical tolerance는 이 characterization의 범위 밖이다.
8 가시적 및 완성된 기하의 복원
복원 오차는 가시적 기하 오차와 불일치 가중 부분공간 회전으로 분해되며, 후자는 reference-valued mode에서 사라진다. 부분공간을 알고 있을 때의 복원은 고유 차원을 보존하지만, 부분공간을 모를 때의 복원은 spectral eigenspace를 추정하며 식별가능성 조건을 요구한다.
- joint perturbation: joint perturbation은 완성된 기하 오차를 가시적 오차와 불일치 가중 부분공간 오차로 분해하며, 후자는 reference-valued mode에서 사라진다.고정 channel 섹션은 가시적 SPD 오차를 등거리적으로 전달하는 반면, information subspace를 추정하면 Grassmann 항이 추가된다.
- 알려진 가시적 부분공간: 부분공간을 아는 finite-sample 복원은 visible space의 고유 차원에 의존하는 self-contained net–Hoeffding bound를 사용한다.이 bound는 의도적으로 보수적이며, 더 강한 가정 아래에서는 matrix Chernoff 또는 Bernstein 방법으로 차원 의존성이나 effective-rank 의존성을 개선할 수 있지만, 최적 rate라고 주장하지는 않는다.
- 알려지지 않은 가시적 부분공간: 부분공간을 모를 때의 복원은 완성된 기하 오차를 정렬된 가시적 second-moment 오차와 불일치 가중 eigenspace rotation의 합으로 bound한다.목표는 population second moment의 leading m-dimensional eigenspace이며, rank-m model에서는 population covector support와 일치하지만 finite observed span과 반드시 일치하지는 않는다.
- 알려지지 않은 가시적 부분공간: self-contained unknown-subspace sample bound는 ambient-dimension cost를 부담하며 eigengap 또는 그 밖의 식별가능한 부분공간 조건을 요구한다.Matrix concentration 또는 effective-rank 가정은 ambient factor를 개선할 수 있으며, second moment는 uncentered이고 mean이 0일 때에만 covariance와 같다.
9 논의
논의에서는 submetry, coherent section, split-Hadamard geometry, closed-form SPD compression을 연결하는 위계를 정립하고, completion과 subspace motion이 선언된 reference에 의존함을 보인다. 또한 structured 및 statistical certificate, 적용 가능성의 한계, 논문의 가정을 넘어선 후속 활용을 식별한다.
- 이론이 확립하는 내용: Submetry는 universal radial-visible reduction의 필요충분조건이며, coherent section과 split-Hadamard geometry는 재사용 가능한 information sheet와 global horizontal submanifold를 제공한다.SPD compression은 이 위계를 closed form으로 구현하고 rank quotient, completion-pair metric, structured certificate를 추가한다.
- Visibility와 reference: Visible target은 무한 직경의 invisible fiber를 남기므로, canonical completion은 P0에 대해 상대적으로만 의미가 있으며 unconstrained direction을 최소 AIRM deformation으로 보존한다.반지름이 제한된 minimax problem조차 risk가 radius와 같다.
- 이동하는 정보: Mismatch weight Ξ(R)는 visible geometry가 reference에서 분리될 때에만 subspace rotation에 비용을 부과하므로, 연속적인 rank 변화는 reference-valued mode를 거친다.이는 kinematic statement이며, trajectory를 선택하려면 추가적인 modeling, optimization, 또는 control principle이 필요하다.
- Structured optimizer: Diagonal 및 block restriction은 relative-interior test와 conic certificate를 통해 strict representability, degenerate boundary representability, closure 이후의 infeasibility를 구분한다.단일 residual로는 이 세 결과를 구분할 수 없다.
- 통계적 해석: Known-subspace recovery는 m-dimensional인 반면, subspace estimation은 ambient second-moment problem과 eigengap을 추가하며, 이후 principal-angle error가 weighted completed AIRM error로 변환된다.이 bound는 R의 uncertainty와 information channel의 uncertainty를 분리하고, net–Hoeffding argument와 bounded i.i.d. observation을 사용한다.
- 경계와 후속 활용: Exactness가 arbitrary observation map을 submetry로 만들지는 않으며, SPD pair metric은 full-column-rank linear compression에 특유하므로 다른 model과 structured family는 별도의 검증이 필요하다.이 논문은 이후의 metric-evolution, constrained-path, intervention-based optimizer audit를 위한 기반을 제공하지만, dynamical 또는 causal assumption은 범위 밖에 둔다.
10 재현성과 윤리 진술 · A Metric 및 Split-Hadamard Reduction 증명 · B Split-Hadamard 정리 증명
부록은 완전한 증명을 통해 metric 및 split-Hadamard reduction을 확립하며, 재현성과 윤리 진술은 이론의 범위와 해석상의 위험을 규정한다. 또한 제시된 completeness 및 Hadamard 가정 아래 global isometry, 유일한 최단 lift, proximal commutation, solution-wise gradient-flow lifting을 증명한다.
- 10 재현성과 윤리 진술: 이 논문은 theory paper로서 fully reproducible하다. 주장은 형식화되고 증명되며, finite-sample 가정은 명시적이고, empirical optimizer-performance claim은 제시하지 않는다.finite-sample 결과는 각 결론에 대해 boundedness, eigengap, confidence 및 dimension dependence를 명시한다.
- 10 재현성과 윤리 진술: 이 논문은 dataset, human-subject experiment 또는 deployed system을 도입하지 않지만, visible geometric certificate가 memory, noise, higher-order oracle 또는 discretization으로부터의 motion을 설명하지는 않는다고 경고한다.이론은 declared information channel이 결정하는 것만 제약한다.
- A Metric 및 Split-Hadamard Reduction 증명: metric theorem은 ball submetry, attained fiber distance 및 universal monotone radial reduction이 서로 동치임을 보이며, attainment가 exact equality와 canonical minimizer lifting을 제공함을 증명한다.증명은 fiber minimizer를 통해 Lipschitz contraction, reverse ball inclusion 및 equality를 도출하며, 역은 singleton indicator와 ρ(t)=t를 사용한다.
- A Metric 및 Split-Hadamard Reduction 증명: coherent isometric section 아래에서 reduction theorem은 complete CAT(0) space에서 submetry, exact proximal commutation 및 induction에 의한 canonical minimizer lifting을 산출한다.squared distance에 radial reduction을 적용하면 proximal identity가 증명되고, coherence는 반복 과정에서 section을 보존한다.
- B Split-Hadamard 정리 증명: Hadamard manifold으로 가는 complete local Riemannian isometry는 global이다. geodesic lifting은 completeness에 의해 확장되고, simple connectivity는 covering을 하나의 sheet로 축소한다.그 결과 얻는 bijective local isometry는 global Riemannian isometry다.
- B Split-Hadamard 정리 증명: 이 lemma를 complete horizontal leaf에 적용하면 각 leaf가 Hadamard base로 globally and isometrically 사상되며, intrinsic distance와 ambient distance가 일치함을 보인다.total geodesy와 Hadamard uniqueness는 leaf를 geodesically convex하게 만들고, horizontal section은 global isometry의 inverse다.
- B Split-Hadamard 정리 증명: split-Hadamard proof는 unique shortest lifts, ball identity, radial 및 proximal reduction을 확립하고, equality가 minimizing geodesic이 horizontal로 남도록 강제하므로 rigidity를 확립한다.horizontal inverse section은 chain rule과 standard ODE uniqueness를 통해 visible gradient-flow solution도 유일하게 lift한다.
C SPD Compression 및 Completion의 증명 … F Deterministic 및 Statistical Recovery의 증명
이 증명들은 canonical하고 유일하게 nearest인 SPD completion과 정확한 affine-invariant reduction을 확립한 뒤, rank-stratified geometry, structured expressivity, deterministic/statistical recovery 보장을 규명한다. 종합하면 visible information이 geometry를 결정하는 조건, channel motion과 structure가 geometry에 미치는 영향, estimation error의 전파 방식을 보인다.
- C SPD Compression 및 Completion의 증명: reference 또는 이에 준하는 off-visible structure 없이는 invariant completion selector가 존재하지 않으며, canonical completion은 forward Gaussian KL objective를 유일하게 최소화한다.scaling argument는 reference-free invariant selection을 배제하고, blockwise KL decomposition은 cross block을 0에서, invisible block을 identity에서 최소화한다.
- C SPD Compression 및 Completion의 증명: compression map은 split-Hadamard다. canonical completion은 complete하고 totally geodesic인 horizontal section을 이루어 Riemannian submersion과 horizontal-lift 성질을 보장한다.증명은 global contraction과 equal-distance normalized lift를 결합하고, surjectivity와 dimension counting을 통해 full horizontal space를 식별한다.
- C SPD Compression 및 Completion의 증명: 모든 visible target에 대해 canonical completion은 feasible한 full geometry 중 유일한 affine-invariant nearest geometry이며, monotone radial decision problem의 exact reduction을 뒷받침한다.strict monotonicity에 따라 noncanonical feasible point를 canonical completion으로 대체하면 objective가 엄격히 개선되며, 모든 reduced minimizer는 canonical하게 lift된다.
- D Rank-Stratified Geometry의 증명: rank-m SPD strata는 m차원 subspace와 compressed congruence class로 bijective하게 parameterize되는 gauge-invariant smooth manifold이며, 더 낮은 rank의 strata는 그 closure를 이룬다.intrinsic subspace는 range(P−P0)이고, frame change는 GL(m) congruence로 작용하며, spectral separation은 smooth local inverse를 제공한다.
- E Structured Expressivity의 증명: diagonal 및 block optimizer family는 relative-interior conic image test를 통해 정확히 feasible하며, generator가 independent일 때 attainment와 uniqueness를 갖고 separating-matrix facial certificate를 제공한다.block image cone은 closed하며, prescribed range에 support된 PSD matrix로 이루어지고, blockwise PSD inequality를 통한 dual certificate를 허용한다.
- F Deterministic 및 Statistical Recovery의 증명: visible-metric error와 channel error는 explicit pair-distance bound를 통해 결합되며, rotation과 metric change의 순서를 더 나은 쪽으로 선택하면 더 작은 reference-mismatch weight를 얻는다.한 경로에서는 visible geometry를 고정한 채 먼저 channel을 rotation하고, 반대 경로에서는 visible geometry를 바꾼 뒤 rotation하여 χ(S)와 χ(R) weight를 얻는다.
- F Deterministic 및 Statistical Recovery의 증명: 높은 확률로 covariance concentration은 dAI(R, R̂) ≤ √m ε를 보장하고, spectral-gap perturbation은 subspace error를 제어하여 두 error를 completed estimator로 전달한다.증명은 net-based Hoeffding bound, Loewner sandwich, Weyl eigenvalue control, deterministic recovery theorem을 사용한다.