The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications

Grisha Perelman

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The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications

Grisha Perelman

arXiv:math/0211159v12002년 11월 11일math.DG

TL;DR

이 논문은 Ricci flow를 gradient-like evolution으로 이해하고 Hamilton의 geometrization 프로그램에 활용하는 방법을 탐구한다. Monotonicity와 관련 geometric argument를 전개해 유한 특이 시간에서 no local collapsing을 증명하고 Ricci flow 기반 geometrization 전략을 뒷받침한다.

문제
Hamilton의 프로그램은 닫힌 3차원 다양체의 geometrization을 뒷받침하기 위해 collapsing과 singular region에 대한 제어를 포함한 추가 Ricci flow 세부 결과를 필요로 했다.
방법
이 논문은 monotonicity formula를 전개하고 Ricci flow를 gradient-like로 해석하며, 이를 logarithmic Sobolev 및 comparison argument와 함께 적용한다.
결과
이 논문은 유한 시간에서 no-local-collapsing 결과를 증명하고, 이를 사용해 injectivity radius를 제어하며 Ricci flow 기반 geometrization 논의를 진전시킨다.
시사점 및 한계
Ricci flow는 유한 시간 특이점 근방에서 geometric control을 제공하고 Hamilton의 geometrization 프로그램 안에서 위상적 결론을 뒷받침한다.
시사점 및 한계
이 논문은 all-time solution에서 bounded normalized curvature가 성립함을 확인하지 않으며, 일부 논증은 unique shortest L-geodesic을 가정하거나 barrier 해석을 요구한다.

Abstract

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We present a monotonic expression for the Ricci flow, valid in all dimensions and without curvature assumptions. It is interpreted as an entropy for a certain canonical ensemble. Several geometric applications are given. In particular, (1) Ricci flow, considered on the space of riemannian metrics modulo diffeomorphism and scaling, has no nontrivial periodic orbits (that is, other than fixed points); (2) In a region, where singularity is forming in finite time, the injectivity radius is controlled by the curvature; (3) Ricci flow can not quickly turn an almost euclidean region into a very curved one, no matter what happens far away. We also verify several assertions related to Richard Hamilton's program for the proof of Thurston geometrization conjecture for closed three-manifolds, and give a sketch of an eclectic proof of this conjecture, making use of earlier results on collapsing with local lower curvature bound.

서론 · 1 gradient flow로서의 Ricci flow

이 논문은 Ricci flow를 gradient-like evolution으로 정식화하고, Hamilton의 geometrization program을 뒷받침하는 monotonicity 기반 도구를 전개한다. 또한 gradient 정식화와 diffeomorphism-gauge freedom을 연결하고, periodic orbit 배제, singularity 분석, injectivity radius 제어 등의 응용을 제시한다.

서론: Finite-time singularity는 거의 둥근 원통형 neck이 pinching되면서 형성될 수 있으며, 이에 따라 neck을 절단하고 cap을 부착한 뒤 Ricci flow를 계속하는 surgery가 동기 부여된다 [H 5].Hamilton은 curvature 가정하에서 four-manifold에 대해 이 절차를 기술했으며, three-dimensional analogue를 기대했다.
서론: 이 논문은 Hamilton의 program을 구체화하면서, bounded normalized curvature가 없는 영역이 curvature bounded below인 locally collapsed 상태임을 보인다. 이는 위상수학적 결론에 충분하다.기술적으로 더 복잡한 surgery 논증은 뒤로 미루지만, 제시된 collapsing 결과는 geometrization 전략을 진전시킨다.
서론: Ricci flow는 gradient-like한 것으로 제시되며, diffeomorphism과 scaling을 법으로 취하면 nontrivial periodic orbit를 갖지 않는다.논문은 이 결론을 주요 monotonicity formula와 L.Gross에 의한 Gaussian logarithmic Sobolev inequality에 귀속시킨다.
서론: 이 monotonicity formula는 모든 smooth finite-time solution에서 각 점의 injectivity radius를 인접한 점들의 curvature로 제어한다.서론은 이 결과가 Hamilton의 geometrization 접근에서 주요 난점을 제거한다고 설명한다.
1 gradient flow로서의 Ricci flow: 고정된 measure m=e^-f dV에 대해 symmetric tensor −(R_ij+∇_i∇_j f)는 F_m=∫(R+|∇f|^2)dm의 L2 gradient다.first variation은 metric과 function variation에 대해 취하며, measure-preserving condition은 v/2−h=0이다.
1 gradient flow로서의 Ricci flow: 그 결과의 gradient flow는 (g_ij)_t=−2(R_ij+∇_i∇_j f)이며, 존재하는 경우 diffeomorphism으로 변형된 Ricci flow와 같다.m의 서로 다른 선택은 diffeomorphism을 제외하면 동일한 flow를 만들므로, measure는 gauge choice와 유사하게 작용한다.
1.2. Proposition.: 가중 functional F_m은 smooth measure에 대해 Bochner–Lichnerowicz 해석을 가지며, DeTurck의 diffeomorphism modification은 Ricci flow를 strongly parabolic하게 만든다 [H 4,§6].가중 공식에서는 ordinary curvature term이 smooth measure와 그에 대응하는 operator를 포함하는 식으로 대체된다.

2 팽창하지 않는 해와 팽창하는 breathers 정리 I

이 절에서는 monotone functional을 사용해 닫힌 다양체에서 자명하지 않은 steady 및 expanding Ricci-flow breather를 배제한다. 또한 steady 및 expanding Ricci soliton은 constant Ricci curvature를 가져야 함을 보인다.

2.1: 따라서 Ricci flow는 닫힌 M에서 자명하지 않은 steady 또는 expanding breather를 갖지 않으며, 이에 대응하는 dynamical-system periodic orbit도 존재하지 않는다.Breather는 metric을 diffeomorphism과 scaling으로 quotient한 뒤 periodic orbit에 대응하고, Ricci soliton은 fixed point에 대응한다.
2.2: Steady breather는 반드시 steady soliton이다. λ(g)가 nondecreasing이고, Rij + ∇i∇jf = 0일 때에만 equality가 성립하기 때문이다.여기서 λ는 −4△ + R의 lowest eigenvalue이며, normalization ∫_M e^−f dV = 1 아래에서 F를 minimizing하여 얻는다.
2.3: Expanding breather의 경우, scale-invariant functional λ̄(g) = λ(g)V(g)^(2/n)는 nonpositive일 때 nondecreasing이며, flow가 gradient soliton인 경우를 제외하면 strictly 증가한다.Expanding breather는 어떤 시점에 dV/dt > 0이어야 하며, −∫_M R dV ≥ λ(t)이므로 어떤 시점에는 λ̄가 nonpositive여야 한다.
2.4*: Equality 조건에 따르면 닫힌 M 위의 모든 steady 또는 expanding Ricci soliton은 constant Ricci curvature를 갖는다.Equality case에서는 R + △f가 constant이고, Euler–Lagrange equation은 △f − |∇f|2 = 0을 준다.

3 노 브리더 정리 II

scale-dependent W-functional을 도입하면 Ricci flow을 따라 단조적으로 증가하는 ν를 얻을 수 있으며, shrinking no-breathers 결과를 τ가 0에 가까워질 때 µ의 거동으로 환원할 수 있다. 또한 이 단조성은 shrinking soliton의 logarithmic Sobolev inequality와 연결된다.

3.1: scale-dependent W-functional은 τ와 g_ij를 동시에 scaling할 때 invariant하며, ν(g_ij(t))는 Ricci flow을 따라 nondecreasing하다.closed manifold에서는 µ(g_ij,τ)가 smooth minimizer를 가지며, ν는 positive τ에 대해 µ를 infimum 취해 얻는다.
3.1: µ(g_ij,τ)는 충분히 작은 positive τ에서 negative이고 τ가 0에 가까워지면 zero로 수렴하므로, shrinking no-breathers의 핵심 주장을 확립한다.증명은 short-time Ricci flow과 conjugate heat equation을 사용하며, limiting argument에서는 L.Gross에 의한 Gaussian logarithmic Sobolev inequality를 이용한다.
3.2: monotonicity formula는 shrinking Ricci soliton이 logarithmic Sobolev inequality를 만족함을 뜻하며, minimizer는 Ric_ij + ∇_i∇_j f − g_ij = 0을 따른다.이를 위해서는 minimizer의 존재와 정당화된 integration by parts가 필요하다. closed manifold에서는 자명하지만 일부 complete manifold에서는 추가 작업이 필요하다.
3.3*: 3차원에서 Ivey는 no-breathers theorem을 증명하고 almost nonnegative curvature estimate 를 사용해 nontrivial Ricci soliton을 배제했다.logarithmic Sobolev inequality는 에서 개관되며, curvature effects는 Bakry-Emery 가, geometric-evolution applications는 Ecker [E 1]가 논의했다.

4 국소 비붕괴 정리 I

단조성 공식은 닫힌 다양체에서 유한시간 특이점이 발생할 때 국소 붕괴가 일어나는 것을 배제한다. 따라서 Ricci flow 해는 제어된 스케일에서 균일하게 비붕괴 상태를 유지하며, 적절한 곡률 blow-up은 완비 고대 κ-비붕괴 해로 수렴한다.

4.1: 닫힌 다양체 위의 유한시간 Ricci flow는 국소적으로 붕괴하지 않는다: t_k → T일 때 어떤 공들의 수열도 r_k^−2 Vol(B_k) → 0을 만족할 수 없다.국소 붕괴는 T에 접근하는 시각 t_k에서 공 B_k = B(p_k,r_k)를 사용해 정의된다.
4.1: 단조성 공식 (3.4)은 가상의 붕괴 공을 −∞로 향하는 entropy quantity를 통해 모순으로 바꿈으로써 비붕괴 정리를 도출한다.증명에서는 붕괴 공을 가정하고 단조성 공식을 적용해 시각에 따른 entropy를 비교한다.
4.2: 모든 닫힌 다양체 초기 metric과 유한 T에 대해, 어떤 κ(g_ij,T)>0가 존재하여 flow는 모든 t ∈ [0,T)에서 스케일 T^1/2에 대해 κ-비붕괴 상태다.κ-비붕괴란 |Rm| ≤ r^−2를 만족하는 공의 부피가 적어도 κr^n임을 뜻한다.
4.2: T에 접근하는 점들에서 곡률이 blow-up하고 더 이른 시각에는 C Q_k로 유계라면, rescaled time slices는 모든 스케일에서 κ-비붕괴인 완비 고대 해로 부분수렴한다.여기서 Q_k = |Rm|(p_k,t_k) → ∞이며, 수렴은 Hamilton’s convergence theorem을 사용해 따른다.

5 통계적 유사성

이 절에서는 Ricci flow functional W를 canonical statistical ensemble에서의 minus entropy와 유사한 것으로 해석한다. 또한 주어진 flow 및 concentration 조건에서 관련 variance, average energy, entropy가 음이 아닌 성질을 가짐을 확립한다.

5 통계적 유사성: W는 Ricci flow의 canonical-ensemble 정식화를 통해 minus entropy와 유사한 것으로 해석된다.이 유사성은 statistical mechanics의 partition function, average energy, entropy, variance를 사용해 전개된다.
5.1: 통계량은 Ricci flow와 연관된 temperature-dependent metric, probability measure, partition function으로 구성된다.metric은 (gij)τ = 2(Rij + ∇i∇jf)에 따라 진화하며, dm = udV이고 u = (4πτ)^−n/2 e−f이다.
5.1: σ is nonnegative이며 gradient shrinking soliton에서만 소멸하고, flow가 모든 sufficiently small τ > 0에 대해 존재하면 < E >도 nonnegative이다.이 성질들은 통계량을 geometric rigidity 및 long-time flow existence와 연결한다.
5.1: u가 τ → 0에서 δ-function으로 concentrate되거나 concentrating approximating functions를 통해 concentrate되면 S is nonnegative이다. 두 경우의 limiting behavior는 서로 다르다.첫 번째 경우에는 < E >, S, σ가 모두 zero로 향하고, 두 번째 경우에는 metric이 singular해지면서 S가 positive limit에 접근할 수 있다.
5.1: ancient Ricci-flow solutions에 대해, τ → ∞에서 bounded entropy S가 flow를 gradient shrinking soliton으로 강제하는지를 묻는다.이는 결과로 확립된 것이 아니라 자연스러운 질문으로 제기된다.

6 잠재적으로 무한 차원인 Riemannian formalism

이 절에서는 backward Ricci flow를 고차원 Riemannian manifold에 매장하며, 이 manifold의 curvature와 Laplacian은 Harnack expressions와 heat equations를 부호화한다. 또한 이 구성은 entropy를 hypersurface scalar curvature와 동일시하고 reduced-volume monotonicity의 동기를 제공한다.

6.1: manifold ˜M = M × S^N × R+는 M에서는 backward Ricci flow에 따라 변하고 S^N에서는 constant-curvature geometry를 갖는 metric을 사용한다.그 curvature components는 N^-1을 법으로 Hamilton’s Harnack expression과 일치하며, full Ricci tensor는 N^-1을 법으로 소멸한다.
6.1: M 위의 heat equation과 conjugate heat equation은 각각 extended functions와 volume forms에 대한 ˜M 위의 Laplace equations가 된다.두 equivalence 모두 N^-1을 법으로 성립한다.
6.2: diffeomorphic modification 후 이 구성은 backward m-preserving Ricci flow를 나타내는 metric을 산출하며, hypersurface volume form에는 τ^(N/2)e^-f가 가중된다.유도된 hypersurface scalar curvature에는 entropy integrand가 포함되므로, βS는 N^-1을 법으로 그 total scalar curvature의 음수와 본질적으로 같다.
6.3: Ricci-flat embedding은 τ = 0 부근의 metric spheres를 거의 일정한 τ를 갖는 hypersurfaces로 변환하며, 그 geometry는 M 위의 quantities로 표현할 수 있다.Geodesics는 S^N fibres에 직교하고, 그 길이는 reduced-distance integrand를 포함한다.
6.3: 그 결과 얻어지는 reduced volume ˜V(τ)는 τ가 감소할 때 증가하는 것으로 제안되며, 엄밀한 monotonicity는 다음 절로 미룬다.이 formula는 Huisken’s mean-curvature-flow monotonicity expression 과 유사하지만, monotonicity 방향은 반대다.

7 Ricci flow에 대한 비교기하 접근법

이 절에서는 Ricci flow에 대한 L-geodesic 비교 이론을 전개하고 reduced volume의 단조성을 도출한다. gradient shrinking soliton인 경우를 제외하면 단조성은 엄격하다. 이러한 부등식은 reduced distance를 제어하고 noncollapsing과 ancient solution에 응용된다.

7.1: 임의의 두 점 사이에는 L-shortest curve가 존재하며, 이는 L-geodesic이다. minimizer가 유일하지 않을 때에도 barrier 또는 distributional 해석을 뒷받침한다.구성에는 closed manifold 또는 곡률이 균일하게 유계인 complete metric이 필요하다.
7.1: 2 exp(−l(τ))J(τ)는 L-geodesic을 따라 nonincreasing하며, flow가 gradient shrinking soliton인 경우를 제외하면 엄격하게 감소한다. 이는 reduced-volume monotonicity를 함의한다.이 결과는 Jacobian 비교와 다양체 전체에 대한 적분으로부터 따른다.
7.1: l(·,τ)의 최솟값은 n 이하이다. 이는 L̄(·,τ) − 2nτ의 최솟값이 nonincreasing이기 때문이다.이는 각 시간에서 reduced distance의 점별 상계를 제공한다.
7.2: 곡률 연산자가 음이 아닌 경우 Hamilton의 Harnack 부등식은 종단 시간에서 떨어진 곳의 reduced distance와 L-Jacobi field에 대한 추가 제어를 제공한다.추정은 τ ≤ (1−c)τ0, c > 0일 때 적용된다.
7.3: 비교 부등식은 관련된 parabolic region에서 곡률이 제어될 때 reduced-volume monotonicity에 모순을 일으켜 약화된 no-local-collapsing theorem을 제공한다.논증에서는 L-exponential map을 사용하고 짧은 접벡터와 긴 접벡터를 분리한 뒤, 양립할 수 없는 reduced-volume bound로부터 모순을 얻는다.
7.3: ancient blow-up solution에서는 임의의 점과 임의의 t0 > 0을 기준으로 한 reduced volume이 κ 이상으로 bounded below이다.이는 (−∞,0)에서 정의된 ancient solution에 대한 대응 corollary를 강화한다.

8 국소 비붕괴 정리 II

정리 8.2는 초기에는 비붕괴 상태이고 곡률이 제어되는 Ricci flow 영역이 제어된 주변 영역 안에서 더 작은 스케일에 κ-collapse된 상태가 될 수 없음을 보인다. 증명은 거리함수 추정, reduced volume, maximum principle 논증을 결합한다.

8.2 정리: 곡률이 r_0^-2로 제한된 초기 비붕괴 공은 A에 의존하는 κ에 대해 r_0보다 작은 스케일에서 인근 점들에서 κ-collapse될 수 없다.가정에는 초기 부피가 최소 A^-1r_0^n이고 초기 r_0-ball에서 곡률이 bounded되어 있다는 조건이 포함되며, 결론은 시간 r_0^2에 거리 Ar_0 이내에 있는 점들에 적용된다.
8.2 정리: 이 논증은 가정한 collapse를 매우 작은 reduced volume으로 바꾸는 한편, reduced distance가 충분히 크지 않으면 초기 reduced volume은 작지 않게 유지됨을 이용한다.따라서 정리는 해당 공에서 reduced distance, 즉 reduced length를 추정하는 문제로 환원된다.
8.3 보조정리: distance-function lemma는 국소 Ricci upper bound 아래에서 변화하는 거리들을 제어하는 데 필요한 미분 부등식을 제공한다.필요한 경우 부등식은 barrier sense로 이해하며, lemma는 geodesic을 따른 second variation을 이용해 증명된다.
8.2 정리: 거리와 reduced length를 포함하는 cutoff에 maximum principle을 적용하면 그 최솟값이 너무 빠르게 감소할 수 없음을 보여 필요한 추정치를 얻는다.cutoff는 내부 영역에서 1이 되도록 하고 그 바깥에서는 빠르게 증가하도록 선택하며, 증명에는 distance lemma와 reduced-length differential inequality가 함께 사용된다.

9 켤레 열방정식 해에 대한 differential Harnack inequality

이 절에서는 Ricci flow 아래 켤레 열방정식 해에 대한 differential Harnack quantity를 도출하고, 그 단조성과 귀결을 확립한다. 또한 이 부등식을 reduced distance와 연결하고, 켤레 열핵을 통해 Ricci flow를 특징짓는다.

9 켤레 열방정식 해에 대한 differential Harnack inequality: 켤레 열방정식 해 u=(4π(T−t))^-n/2 e^-f에 대해, quantity v=[(T−t)(2Δf−|∇f|^2+R)+f−n]u는 differential Harnack inequality를 준다.이 명제는 직접 계산으로 얻어지며 국소적 응용에 특히 유용하다.
9 켤레 열방정식 해에 대한 differential Harnack inequality: 닫힌 다양체에서, 또는 maximum principle이 적용되는 경우에는 min v/u is nondecreasing in time이다. u가 T에서 δ-function으로 수렴하면 T 이전에는 v≤0이다.후자의 결론은 양의 보조 함수에 열방정식을 적용하고 관련 terminal limit가 0임을 확인하면 따른다.
9 켤레 열방정식 해에 대한 differential Harnack inequality: δ-function estimate는 curve inequality를 함의하며, p에서 concentration이 일어나는 경우 f(q,t)를 reduced distance l(q,T−t) 이하로 제한한다.reduced distance는 p와 backward time parameter τ(t)=T−t를 사용해 정의된다.
9.6 주석: Ricci flow는 initial pole 근방에서 O(|pq|^2+|t|) error를 갖는 켤레 열 fundamental solution의 infinitesimal behavior에 의해 metric evolution equations 중에서 특징지어진다.일반적인 metric evolution에서는 대응하는 expression이 O(1)에 불과하지만, Ricci flow에서는 o(1)로 개선된다.
9.7* 주석: Differential Harnack inequalities는 Li and Yau 및 Hamilton [H 7,8]의 선행 연구를 확장한다. 이들은 이를 linear equations와 parabolic-flow monotonicity formulas에 사용했다.이 절에서는 mean curvature flow에 대한 관련 local monotonicity results도 언급한다.

10 Pseudolocality 정리

Pseudolocality 정리는 scalar curvature가 제어된 초기의 거의 Euclidean 영역이 먼 곳의 singularity 거동과 무관하게 짧은 시간 동안 curvature bound를 유지함을 보인다. 증명은 conjugate heat kernel, monotonicity, logarithmic Sobolev inequality와의 모순을 사용하며, 그 결과 volume, curvature, noncollapsing에 관한 귀결을 얻는다.

10 Pseudolocality 정리: R(x) ≥ −r0^−2이고 B(x0,r0)의 모든 subregion이 등주적으로 거의 Euclidean이면, 0 < t ≤ (εr0)^2에서 x0 근방에 대해 |Rm|(x,t) ≤ αt^−1 + (εr0)^−2이다.이 estimate는 dist_t(x,x0) < εr0인 곳에서 성립하며, ε와 δ는 α에 의존한다.
10 Pseudolocality 정리: 거의 singular한 영역은 Ricci flow 아래에서 상당한 curvature를 거의 Euclidean 영역으로 즉시 전달할 수 없다.동치로 말하면, 더 높은 energy scale에서 자명해 보이는 영역은 약간 더 낮은 scale에서 갑자기 매우 비자명해질 수 없다.
10 Pseudolocality 정리: 모순을 이용한 증명은 잠재적으로 높은 curvature를 갖는 점을 rescale하고, 그 monotonicity가 Gaussian logarithmic Sobolev inequality와 충돌하는 conjugate heat kernel을 사용한다.injectivity radius가 양수로 유지되면 limit는 gradient shrinking soliton과 양립할 수 없고, collapse하면 rescaling을 통해 flat limit가 생성되며 두 경우 모두 모순에 이른다.
10 Pseudolocality 정리: 같은 가정 아래에서 이 정리는 positive time에 x0 근처를 중심으로 하는 ball에 대한 lower volume estimate도 제공한다.이 volume control은 universal dimensional constant를 사용해 Corollary 10.2로 제시된다.
10 Pseudolocality 정리: bounded initial curvature와 거의 Euclidean volume은 짧은 시간 구간 전체에서 x0 근방에 |Rm|(x,t) ≤ (εr0)^−2를 함의하며, 관련 가정은 controlled scale에서 κ-collapse를 방지한다.이러한 귀결은 Theorem 10.3과 Corollary 10.4에 제시된다.

11 비음이 아닌 곡률 연산자와 유계 엔트로피를 갖는 고대 해

이 절에서는 유계 비음이 아닌 곡률 연산자와 κ-noncollapsing, 즉 유계 엔트로피를 갖는 완비 비평탄 고대 Ricci flow를 연구한다. shrinking-soliton blow-down, zero asymptotic volume ratio, 곡률 추정, non-neck 영역의 구조적 제어를 비롯한 점근적 성질과 compactness 성질을 증명한다.

11.2: 주어진 곡률 및 엔트로피 가정 아래에서, 적절한 점에서의 parabolic rescaling은 부분수열을 취하면 비평탄 gradient shrinking soliton으로 수렴한다.κ-noncollapsing은 collapse를 방지하고, reduced volume의 단조성은 극한 부등식에서 등식이 성립하도록 하여 soliton 구조를 얻는다.
11.4: 이러한 가정을 만족하는 모든 해는 각 시간에서 zero asymptotic volume ratio를 갖는다.양의 asymptotic volume ratio는 차원 축소가 가능한 split limit, 배제되는 비평탄 metric cone, 또는 평탄성을 낳는다.
국소 noncollapsing: 모든 ε > 0에 대해, 충분히 제어된 국소 고대 flow는 곡률 스케일에서 uniform lower volume bound를 갖는다.이 추정에 따르면 주어진 곡률, 시간 깊이, 공간 스케일 조건 아래에서 충분히 큰 k에 대해 Vol B(x_k,A/√Q_k)^n ≥ ε이다.
국소 곡률 추정: 공에 대한 lower volume bound는, 그 bound가 final time에서만 가정되더라도 근방에서 곡률 추정 R(x,t) ≤ C r_0^-2 + B(t−t_0)^-1을 준다.이 추정은 distance 1/4 r_0 이내에 적용되며, final-time-only 경우에는 backward time range가 수정된다.
전역 구조: 비콤팩트 고대 해의 class는 scaling을 제외하면 compact하며, ε-neck 바깥의 점들은 제어된 diameter와 comparable curvature를 갖는 compact 영역을 이룬다.R(x_k,0)=1로 정규화하면 수열은 smoothly convergent subsequence를 갖는다. non-neck set M_ε는 diam M_ε ≤ C Q^-1/2 및 C^-1Q ≤ R ≤ CQ를 만족한다.
유일성 추측: 본문은 유계 양의 곡률을 갖는 비콤팩트 3차원 κ-noncollapsed 고대 해가 rotationally symmetric Bryant steady soliton이라는 유일성 추측을 제시한다.제안된 유일성은 완전히 확립되지 않았지만, gradient steady soliton class 안에서는 유일성이 주장된다.

12 3차원에서 거의 음이 아닌 곡률

3차원에서 φ-거의 음이 아닌 곡률과 비붕괴성을 결합하면 국소 고대해 해 모형과 곡률 제어를 얻는다. 이 결과는 체적 및 단면곡률 가정하에서 스케일 의존적 곡률 추정을 제공하며, 작은 metric ball에 대한 따름정리로 이어진다.

12.1: 고곡률 근방은 Q로 스케일링한 뒤, φ-거의 음이 아닌 곡률과 κ-비붕괴성하에서 고대해의 대응 영역에 ε-가까워진다.이는 t0 ≥ 1이고 Q = R(x0,t0) ≥ r0^-2일 때 (x0,t0) 주변의 포물선 근방에 적용된다.
12.1: blow-up 논증은 유계 거리에서 곡률을 제어하고, κ-비붕괴성, 더 이른 시간으로의 확장, 균일한 곡률 유계를 이용해 매끄러운 고대 극한을 얻는다.Claim 2는 기저점에 임의로 큰 곡률이 지나치게 가까이 누적되는 것을 막고, Claim 1은 가정된 최초 극한 시간 이후로의 확장을 뒷받침한다.
12.2: 모든 A > 0에 대해, 정리 8.2의 가정과 φ-거의 음이 아닌 곡률하에서 x0으로부터 거리 A 이내의 시간 1에서 스칼라 곡률은 K(A)로 유계이다.증명은 큰 곡률을 갖는 점들을 정리 12.1의 국소 고대해 결론으로 환원하며, 비붕괴성은 정리 8.2가 제공한다.
12.3: B(x0,r0)에서 체적이 w r0^n 이상이고, 단면곡률이 −r0^-2 이상이며, φ-거의 음이 아닌 곡률을 가지면 스칼라 곡률은 R(x,t) < K r0^-2를 만족한다.정리 12.3에 명시된 대로 상수 τ(w), K(w), ρ(w)는 w에만 의존한다.
12.4: 정리 12.2와 12.3은 metric ball이 주어진 하부 곡률 스케일을 가질 때 닫힌 3차원 다양체 위의 φ-거의 음이 아닌 곡률 흐름에 대해 소규모 스케일 따름정리를 준다.제공된 본문은 따름정리의 설정만 서술하며 결론적 추정은 포함하지 않는다.

13 3차원 Ricci flow의 전체상

큰 시간에서 3차원 Ricci flow는 thick–thin decomposition을 가지며, thick part는 유한 부피 hyperbolic geometry에 접근하고 thin part는 graph manifold가 된다. 유한 시간 singularity는 위상을 기하화된 조각들로 분해하며, 여기에는 구면 및 S2 × R quotient와의 connected sum이 포함된다.

13.1: 충분히 큰 t에서 M은 thick region과 thin region으로 분할되며, thick part에서는 curvature와 volume이 제어되고 thin part에서는 국소적으로 collapse된 lower-curvature-bounded ball이 나타난다.이 decomposition은 w에 의존하며, 상수 K(w)와 ρ(w)가 존재한다. thick ball은 |˜Rm| ≤ K를 만족하고 scale-dependent lower bound 이상의 volume을 가지는 반면, thin ball은 volume < wr^n을 만족한다.
13.1: t →∞ 및 w →0인 적절한 수열을 따라 thick part는 유한 부피의 완비 hyperbolic manifold로 수렴하고, thin part는 graph manifold와 homeomorphic하다.hyperbolic limit의 cusp는 M에서 incompressible하며, graph-manifold 결론에는 lower curvature bound를 갖는 3차원 collapsing 이론이 사용된다.
13.2: 유한 시간 singularity에서는 curvature가 everywhere diverge하고 M이 S3 또는 S2 × R의 quotient이거나, 높은 curvature가 neck와 capped neck에 집중되어 horn을 형성한다.horn 기술을 이용하면 singular time에 horn tip을 교체할 수 있지만, finite horn diameter가 성립하는지는 아직 증명되지 않았다.
13.2: 모든 maximal horn은 volume at least cT^n을 가지므로, 결국 smoothness가 성립하고 M의 위상을 thick–thin piece와 S3 및 S2 × R의 quotient의 connected sum으로 재구성할 수 있다.thick–thin piece는 13.1에서 기술한 것들이다.
13.3*: Anderson 는 perturbed total scalar curvature functional에 대한 elliptic Euler–Lagrange equation을 통해 geometrization에 접근하는 alternative differential-geometric approach를 전개한다.이 논문은 Ricci flow가 이와 밀접하게 관련된 functional의 gradient flow라는 점에서 Hamilton의 연구와 평행성을 이룬다고 설명한다.